2次関数 $y = x^2 - 2x + 2$ の $-1 \le x \le 2$ における最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 2x + 2$ の $-1 \le x \le 2$ における最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成する。

$y = x^2 - 2x + 2$

$y = (x - 1)^2 - 1 + 2$

$y = (x - 1)^2 + 1$

この平方完成された式から、頂点の座標は $(1, 1)$ であることがわかる。

次に、定義域 $-1 \le x \le 2$ における関数の値を調べる。

頂点の $x$ 座標 $x=1$ は定義域内にある。$x = 1$ のとき $y = 1$。

次に、定義域の端点での関数の値を計算する。

$x = -1$ のとき、

$y = (-1)^2 - 2(-1) + 2 = 1 + 2 + 2 = 5$

$x = 2$ のとき、

$y = (2)^2 - 2(2) + 2 = 4 - 4 + 2 = 2$

したがって、$x=-1$ のとき最大値 $5$, $x=1$ のとき最小値 $1$ をとる。

3. 最終的な答え

最大値：5 ($x = -1$ のとき)

最小値：1 ($x = 1$ のとき)