与えられた数学の問題を解き、空欄を埋めます。問題は多項式の展開、2次関数のグラフの平行移動、不等式の解、箱ひげ図に関するものです。

1. 問題の内容

与えられた数学の問題を解き、空欄を埋めます。問題は多項式の展開、2次関数のグラフの平行移動、不等式の解、箱ひげ図に関するものです。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$(x+2)^2(4x-5)$ を展開します。

$(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$

$(x^2 + 4x + 4)(4x-5) = 4x^3 - 5x^2 + 16x^2 - 20x + 16x - 20 = 4x^3 + 11x^2 - 4x - 20$

定数項は $-20$ なので、(ア) は $-20$ です。

$x^2$ の項の係数は $11$ なので、(イ) は $11$ です。

(2)

$y = x^2 + 6x + 2$ を平方完成します。

$y = (x^2 + 6x + 9) - 9 + 2 = (x+3)^2 - 7$

頂点の座標は $(-3, -7)$ なので、(ウ) は $(-3, -7)$ です。

x軸方向に4、y軸方向に3だけ平行移動すると、

$y = (x-4+3)^2 - 7 + 3 = (x-1)^2 - 4 = x^2 - 2x + 1 - 4 = x^2 - 2x - 3$

したがって、(エ) は $x^2 - 2x - 3$ です。

(3)

$|x-1| < 3$ を解きます。

$-3 < x-1 < 3$

$-2 < x < 4$

(オ) は $-2 < x < 4$ です。

$|x-1|<3$ は $x<4$ であるための条件を考えます。

$|x-1|<3$ は $-2<x<4$ を意味します。

$x<4$ は $|x-1|<3$ を満たす必要がありますか？

いいえ、例えば $x=-3$ は $x<4$ を満たしますが、$|x-1|<3$ すなわち $|-3-1| < 3$ は満たしません。

$|x-1|<3$ ならば $x<4$ は成り立ちます。

したがって、 $|x-1|<3$ は $x<4$ であるための十分条件ですが、必要条件ではありません。

(カ) は 1 です。

(4)

箱ひげ図から、第1四分位数は24、第3四分位数は34なので、四分位範囲は $34-24 = 10$ です。

(キ) は $10$ です。

箱ひげ図と矛盾するものを探します。

1. 15mの生徒はいない：箱ひげ図の最小値が18なので、矛盾しません。

2. 40m以上の生徒がいる：箱ひげ図の最大値は43なので、矛盾しません。

3. 半数以上の生徒は29m以上である：中央値が29なので、矛盾しません。

4. 24m以下の生徒は4人以下である：第一四分位数が24なので、25%の生徒は24m以下です。20人の25%は5人なので、24m以下の生徒は5人いることになります。したがって、4.は箱ひげ図と矛盾します。

(ク) は 4 です。

3. 最終的な答え

(ア) -20

(イ) 11

(ウ) (-3, -7)

(エ) $x^2 - 2x - 3$

(オ) $-2 < x < 4$

(カ) 1

(キ) 10

(ク) 4