放物線 $y = x^2 + ax + b$ を原点に関して対称移動し、さらにx軸方向に3、y軸方向に6だけ平行移動すると、放物線 $y = -x^2 + 4x - 7$ が得られる。このとき、$a$、$b$の値を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 + ax + b$ を原点に関して対称移動し、さらにx軸方向に3、y軸方向に6だけ平行移動すると、放物線 $y = -x^2 + 4x - 7$ が得られる。このとき、$a$、$b$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y = x^2 + ax + b$ を原点に関して対称移動することを考える。原点対称移動は $(x, y) \to (-x, -y)$ と変換されるので、

$-y = (-x)^2 + a(-x) + b$

$-y = x^2 - ax + b$

$y = -x^2 + ax - b$

次に、この放物線をx軸方向に3、y軸方向に6だけ平行移動することを考える。平行移動は $(x, y) \to (x - 3, y - 6)$ と変換されるので、

$y - 6 = -(x - 3)^2 + a(x - 3) - b$

$y = -(x^2 - 6x + 9) + ax - 3a - b + 6$

$y = -x^2 + 6x - 9 + ax - 3a - b + 6$

$y = -x^2 + (6 + a)x - 3a - b - 3$

これが $y = -x^2 + 4x - 7$ と等しいので、係数を比較する。

$6 + a = 4$

$-3a - b - 3 = -7$

最初の式から $a = 4 - 6 = -2$。

次の式に代入して、

$-3(-2) - b - 3 = -7$

$6 - b - 3 = -7$

$3 - b = -7$

$b = 3 + 7 = 10$

3. 最終的な答え

$a = -2$

$b = 10$