実数 $a, b$ を定数とする3次関数 $P(x) = x^3 + x^2 + ax + b$ が、$P(2) = 0$ を満たすとき、以下の問いに答える問題です。 (1) $b$ を $a$ を用いて表し、$P(x)$ を因数分解する。 (2) 3次方程式 $P(x) = 0$ の異なる実数解がちょうど2個であるとき、$a$ の値を求め、そのときの3次方程式 $P(x) = 0$ の解をすべて求める。

1. 問題の内容

実数 $a, b$ を定数とする3次関数 $P(x) = x^3 + x^2 + ax + b$ が、$P(2) = 0$ を満たすとき、以下の問いに答える問題です。

(1) $b$ を $a$ を用いて表し、$P(x)$ を因数分解する。

(2) 3次方程式 $P(x) = 0$ の異なる実数解がちょうど2個であるとき、$a$ の値を求め、そのときの3次方程式 $P(x) = 0$ の解をすべて求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$P(2) = 0$ を用いて $b$ を $a$ で表します。

$P(2) = 2^3 + 2^2 + 2a + b = 8 + 4 + 2a + b = 12 + 2a + b = 0$

したがって、

$b = -2a - 12$

$P(x)$ に代入して

$P(x) = x^3 + x^2 + ax - 2a - 12$

$P(2) = 0$ なので、$P(x)$ は $(x-2)$ を因数に持ちます。

そこで、$P(x)$ を $(x-2)$ で割ります。

$P(x) = (x-2)(x^2 + 3x + a + 6)$

(2)

$P(x) = 0$ が異なる実数解をちょうど2個持つ条件を考えます。

$P(x) = (x-2)(x^2 + 3x + a + 6) = 0$

よって、$x = 2$ または $x^2 + 3x + a + 6 = 0$

$x^2 + 3x + a + 6 = 0$ が

(i) $x = 2$ を解に持つ場合:

$2^2 + 3(2) + a + 6 = 4 + 6 + a + 6 = 16 + a = 0$

$a = -16$

このとき、$x^2 + 3x - 10 = 0$

$(x + 5)(x - 2) = 0$

$x = 2, -5$

異なる実数解は $x = 2, -5$ の2個。

(ii) $x^2 + 3x + a + 6 = 0$ が重解を持つ場合:

判別式 $D = 3^2 - 4(a + 6) = 9 - 4a - 24 = -4a - 15 = 0$

$a = -\frac{15}{4}$

このとき、$x^2 + 3x + \frac{9}{4} = 0$

$(x + \frac{3}{2})^2 = 0$

$x = -\frac{3}{2}$

異なる実数解は $x = 2, -\frac{3}{2}$ の2個。

3. 最終的な答え

(1) $b = -2a - 12$

$P(x) = (x-2)(x^2 + 3x + a + 6)$

(2)

(i) $a = -16$ のとき、解は $x = 2, -5$

(ii) $a = -\frac{15}{4}$ のとき、解は $x = 2, -\frac{3}{2}$