数列 $\{a_n\}$ が与えられており、$a_1 = \frac{1}{2}$、$a_{n+1} = \frac{2a_n + s}{a_n + 2}$ (n = 1, 2, 3, ...)と定義されている。$s=0$ および $s=1$ のそれぞれの場合について、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられており、$a_1 = \frac{1}{2}$、$a_{n+1} = \frac{2a_n + s}{a_n + 2}$ (n = 1, 2, 3, ...)と定義されている。$s=0$ および $s=1$ のそれぞれの場合について、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

2. 解き方の手順

(1) $s = 0$ のとき

花子の発言に従い、$b_n = \frac{1}{a_n}$ とおく。

$a_{n+1} = \frac{2a_n}{a_n + 2}$ なので、

$\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{a_n + 2}{2a_n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{a_n}$

$b_{n+1} = \frac{1}{2} + b_n$

これは等差数列を表す漸化式である。

$b_1 = \frac{1}{a_1} = 2$

数列 $\{b_n\}$ は、初項 $2$、公差 $\frac{1}{2}$ の等差数列なので、

$b_n = 2 + (n-1) \cdot \frac{1}{2} = 2 + \frac{n}{2} - \frac{1}{2} = \frac{n}{2} + \frac{3}{2} = \frac{n+3}{2}$

よって、$a_n = \frac{1}{b_n} = \frac{2}{n+3}$

(2) $s = 1$ のとき

花子の発言に従い、$c_n = \frac{1 + a_n}{1 - a_n}$ とおく。

$a_{n+1} = \frac{2a_n + 1}{a_n + 2}$

$c_{n+1} = \frac{1 + a_{n+1}}{1 - a_{n+1}} = \frac{1 + \frac{2a_n + 1}{a_n + 2}}{1 - \frac{2a_n + 1}{a_n + 2}} = \frac{(a_n + 2) + (2a_n + 1)}{(a_n + 2) - (2a_n + 1)} = \frac{3a_n + 3}{-a_n + 1} = \frac{3(a_n + 1)}{-(a_n - 1)} = -3 \cdot \frac{a_n + 1}{a_n - 1} = -3 \cdot \frac{1 + a_n}{1 - a_n} \cdot (-1) = -3c_n$.

数列 $\{c_n\}$ は公比$-3$ の等比数列。

$c_1 = \frac{1 + a_1}{1 - a_1} = \frac{1 + \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} = 3$

したがって、$c_n = 3 \cdot (-3)^{n-1} = (-3)^{n-1} \cdot 3 = (-3)^{n-1 +1}= (-3)^n$.

$c_n = \frac{1 + a_n}{1 - a_n}$ より、$c_n(1 - a_n) = 1 + a_n$

$c_n - c_n a_n = 1 + a_n$

$c_n - 1 = a_n + c_n a_n = a_n(1 + c_n)$

$a_n = \frac{c_n - 1}{c_n + 1} = \frac{(-3)^n - 1}{(-3)^n + 1}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = \frac{2}{n+3}$

(2) $a_n = \frac{(-3)^n - 1}{(-3)^n + 1}$