整式 $f(x)$ と実数 $a$ があり、以下の条件を満たしている。 (i) $f(x)$ を $x^2 + 3x + 2$ で割ると $5x + 7$ 余る。 (ii) $f(x)$ を $x^2 + 4x + 3$ で割ると $2x + a$ 余る。 (iii) $f(x)$ は(i), (ii) を満たす整式の中で次数が最小である。 このとき、$a$ の値と $f(x)$ を求めよ。
2025/7/2
1. 問題の内容
整式 と実数 があり、以下の条件を満たしている。
(i) を で割ると 余る。
(ii) を で割ると 余る。
(iii) は(i), (ii) を満たす整式の中で次数が最小である。
このとき、 の値と を求めよ。
2. 解き方の手順
(i)より、 ( はある整式)と表せる。
なので、 である。
のとき、 である。
のとき、 である。
(ii)より、 ( はある整式)と表せる。
なので、 である。
のとき、 である。
のとき、 である。
条件(iii)より、 は(i), (ii)を満たす整式の中で次数が最小なので、 は1次式である。
とおくと、
上の式から下の式を引くと、 である。
より、 である。
よって、 である。
また、 より、 である。
より、 である。
が最小の次数なので、 は1次式と考えられる。したがって、 とおくと、
よって、 を満たす必要があるが、 の値に関係なくこれは成り立たない。
が2次式の場合を考える。
, ,
次数が最小なので、 と は定数である。
のとき、 なので、 である。
のとき、 なので、
のとき、
次数が最小のものを求めるには、次数を1にする。
より、
3. 最終的な答え
,