画像には、関数 $f(x)$ が与えられており、いくつかの条件から $f(x)$ を決定する過程が示されています。具体的には、$f(x) = a(x+1)^2 (x-1)^2 - 1$ という形をしており、$y = f(x)$ がy軸に関して対称であること、そして極大値 $f(0) = 4$ という条件が与えられています。これらの条件から $a$ の値を求め、$f(x)$ を具体的な多項式として表すことが目的です。

1. 問題の内容

画像には、関数 $f(x)$ が与えられており、いくつかの条件から $f(x)$ を決定する過程が示されています。具体的には、$f(x) = a(x+1)^2 (x-1)^2 - 1$ という形をしており、$y = f(x)$ がy軸に関して対称であること、そして極大値 $f(0) = 4$ という条件が与えられています。これらの条件から $a$ の値を求め、$f(x)$ を具体的な多項式として表すことが目的です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = a(x+1)^2 (x-1)^2 - 1$ という式が与えられています。

次に、$f(0) = 4$ という条件を使います。$x = 0$ を代入すると、

$f(0) = a(0+1)^2 (0-1)^2 - 1 = a(1)(1) - 1 = a - 1$

$f(0) = 4$ なので、$a - 1 = 4$ となります。

これを解くと、$a = 5$ が得られます。

したがって、$f(x) = 5(x+1)^2 (x-1)^2 - 1$ となります。

最後に、この式を展開して整理します。

$f(x) = 5(x^2 - 1)^2 - 1 = 5(x^4 - 2x^2 + 1) - 1 = 5x^4 - 10x^2 + 5 - 1 = 5x^4 - 10x^2 + 4$

3. 最終的な答え

$f(x) = 5x^4 - 10x^2 + 4$