正の偶数の列 $\{2, 4, 6, \dots\}$ を、第 $n$ 群が $n$ 個の数を含むように群に分ける。このとき、第12群の3番目の数を求め、また472が第何群の何番目の数であるかを求める。

1. 問題の内容

正の偶数の列 $\{2, 4, 6, \dots\}$ を、第 $n$ 群が $n$ 個の数を含むように群に分ける。このとき、第12群の3番目の数を求め、また472が第何群の何番目の数であるかを求める。

2. 解き方の手順

まず、第 $n$ 群の最初の項が何番目にあたるかを考える。

第 $n$ 群の最初の項は、第 $(1 + 2 + \dots + (n-1)) + 1$ 項、つまり $\frac{(n-1)n}{2} + 1$ 番目にあたる。

したがって、第 $n$ 群の最初の項は、数列 $\{2, 4, 6, \dots\}$ の中で $2 \left(\frac{(n-1)n}{2} + 1 \right) = n(n-1) + 2 = n^2 - n + 2$ である。

(1) 第12群の3番目の数を求める。

第12群の最初の項は、 $12^2 - 12 + 2 = 144 - 12 + 2 = 134$ である。

第12群の3番目の数は、 $134 + 2 \times 2 = 134 + 4 = 138$ である。

(2) 472が第何群の何番目の数であるかを求める。

$n^2 - n + 2 \le 472$ を満たす最大の整数 $n$ を求める。

$n^2 - n - 470 \le 0$

$n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4 \times 470}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{1881}}{2}$

$\sqrt{1881} \approx 43.37$ なので、

$n = \frac{1 \pm 43.37}{2}$

$n$ は正の整数なので、$n \approx \frac{1 + 43.37}{2} \approx 22.18$

$n=22$ とすると、$n^2 - n + 2 = 22^2 - 22 + 2 = 484 - 22 + 2 = 464$

$n=23$ とすると、$n^2 - n + 2 = 23^2 - 23 + 2 = 529 - 23 + 2 = 508$

したがって、472は第22群に含まれる。

第22群の最初の項は464なので、472は第 $k$ 番目の数とすると、 $464 + 2(k-1) = 472$

$2(k-1) = 8$

$k-1 = 4$

$k = 5$

472は第22群の5番目の数である。

3. 最終的な答え

第12群の3番目の数は138である。

472は第22群の5番目の数である。