(1) 関数 $y = x^4 - 6x^2 + 1$ ($-1 \leq x \leq 2$) の最大値を求めます。まず、$x^2 = t$ とおき、$t$ の範囲を求め、それを用いて $y$ を $t$ の関数として表し、最大値を求めます。 (2) 関数 $y = (x^2 - 4x + 3)^2 + 4x^2 - 16x + 11$ ($0 \leq x \leq 3$) の最大値と最小値を求めます。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = x^4 - 6x^2 + 1$ ($-1 \leq x \leq 2$) の最大値を求めます。まず、$x^2 = t$ とおき、$t$ の範囲を求め、それを用いて $y$ を $t$ の関数として表し、最大値を求めます。

(2) 関数 $y = (x^2 - 4x + 3)^2 + 4x^2 - 16x + 11$ ($0 \leq x \leq 3$) の最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

ステップ1: $x^2 = t$ とおくと、$-1 \leq x \leq 2$ より、$0 \leq x^2 \leq 4$ なので、$0 \leq t \leq 4$ となります。よって、ア=0、イ=4 です。

ステップ2: $y = x^4 - 6x^2 + 1$ を $t$ で表すと、$y = t^2 - 6t + 1$ となります。

ステップ3: $y = t^2 - 6t + 1$ を平方完成すると、$y = (t - 3)^2 - 8$ となります。

ステップ4: $0 \leq t \leq 4$ の範囲で $y$ の最大値を求めます。

$t = 0$ のとき、$y = (0 - 3)^2 - 8 = 9 - 8 = 1$

$t = 4$ のとき、$y = (4 - 3)^2 - 8 = 1 - 8 = -7$

よって、最大値は $1$ となります。

(2)

ステップ1: $y = (x^2 - 4x + 3)^2 + 4x^2 - 16x + 11$ を整理します。

$y = (x^2 - 4x + 3)^2 + 4(x^2 - 4x) + 11$

$y = (x^2 - 4x + 3)^2 + 4(x^2 - 4x + 3) - 1$

$z = x^2 - 4x + 3$ とおくと、$y = z^2 + 4z - 1$

ステップ2: $z = x^2 - 4x + 3$ を平方完成すると、$z = (x - 2)^2 - 1$ となります。$0 \leq x \leq 3$ より、

$x = 0$ のとき、$z = (0 - 2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3$

$x = 2$ のとき、$z = (2 - 2)^2 - 1 = -1$

$x = 3$ のとき、$z = (3 - 2)^2 - 1 = 1 - 1 = 0$

よって、$-1 \leq z \leq 3$ です。

ステップ3: $y = z^2 + 4z - 1$ を平方完成すると、$y = (z + 2)^2 - 5$ となります。

$-1 \leq z \leq 3$ の範囲で $y$ の最大値と最小値を求めます。

$z = -1$ のとき、$y = (-1 + 2)^2 - 5 = 1 - 5 = -4$

$z = -2$ のとき、$y = (-2 + 2)^2 - 5 = -5$ ($z = -2$ は範囲外)

$z = 3$ のとき、$y = (3 + 2)^2 - 5 = 25 - 5 = 20$

よって、最大値は $20$、最小値は $-4$ です。

3. 最終的な答え

(1) ア = 0, イ = 4, ウ = 1

(2) エオ = 20, カキ = -4