与えられた式の展開における、指定された項の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた式の展開における、指定された項の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $(a+5)^9$ の $a^8$ の項の係数を求める。二項定理より、

$$(a+5)^9 = \sum_{k=0}^{9} \binom{9}{k} a^k 5^{9-k}$$

$a^8$ の項は $k=8$ のときなので、係数は $\binom{9}{8} 5^{9-8} = \binom{9}{8} 5^1 = 9 \times 5 = 45$

(2) $(2x-5)^4$ の $x^2$ の項の係数を求める。二項定理より、

$$(2x-5)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} (2x)^k (-5)^{4-k}$$

$x^2$ の項は $k=2$ のときなので、係数は $\binom{4}{2} (2)^2 (-5)^{4-2} = \binom{4}{2} (4) (-5)^2 = 6 \times 4 \times 25 = 600$

(3) $(3-a)^{10}$ の $a^7$ の項の係数を求める。二項定理より、

$$(3-a)^{10} = \sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} (3)^{10-k} (-a)^k$$

$a^7$ の項は $k=7$ のときなので、係数は $\binom{10}{7} (3)^{10-7} (-1)^7 = \binom{10}{7} (3)^3 (-1)^7 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} \times 27 \times (-1) = 120 \times 27 \times (-1) = -3240$

(4) $(2x-3y)^7$ の $x^4 y^3$ の項の係数を求める。二項定理より、

$$(2x-3y)^7 = \sum_{k=0}^{7} \binom{7}{k} (2x)^k (-3y)^{7-k}$$

$x^4 y^3$ の項は $k=4$ のときなので、係数は $\binom{7}{4} (2)^4 (-3)^{7-4} = \binom{7}{4} (2)^4 (-3)^3 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} \times 16 \times (-27) = 35 \times 16 \times (-27) = -15120$

3. 最終的な答え

(1) 45

(2) 600

(3) -3240

(4) -15120