$f_n(x) = x^{2n} - x^n + 1$ とする。$n$は自然数とする。 (1) $\alpha$ が方程式 $f_1(x) = 0$ の解であるとき、$\alpha^3$ と $f_5(\alpha)$ の値を求めよ。 (2) $n$ を $6$ で割った余りが $5$ であるとき、$f_n(x)$ は $x^2 - x + 1$ で割り切れることを示せ。

1. 問題の内容

$f_n(x) = x^{2n} - x^n + 1$ とする。$n$は自然数とする。

(1) $\alpha$ が方程式 $f_1(x) = 0$ の解であるとき、$\alpha^3$ と $f_5(\alpha)$ の値を求めよ。

(2) $n$ を $6$ で割った余りが $5$ であるとき、$f_n(x)$ は $x^2 - x + 1$ で割り切れることを示せ。

2. 解き方の手順

(1)

$f_1(x) = x^2 - x + 1 = 0$

$\alpha$ は $x^2 - x + 1 = 0$ の解であるから、$\alpha^2 - \alpha + 1 = 0$ が成り立つ。

両辺に $(\alpha + 1)$ をかけると、

$(\alpha + 1)(\alpha^2 - \alpha + 1) = 0$

$\alpha^3 + 1 = 0$

$\alpha^3 = -1$

次に、$f_5(\alpha)$ の値を求める。

$f_5(\alpha) = \alpha^{10} - \alpha^5 + 1$

$(\alpha^3)^3 = (-1)^3 = -1$ より $\alpha^9 = -1/\alpha$

$\alpha^{10} = \alpha^9 \times \alpha = -\alpha$

$(\alpha^3)^1 = -1$ より $\alpha^5 = \alpha^2 \times \alpha^3 = - \alpha^2$

$f_5(\alpha) = -\alpha - (-\alpha^2) + 1 = -\alpha + \alpha^2 + 1 = (\alpha^2 - \alpha + 1) = 0$

(2)

$n$ を $6$ で割った余りが $5$ であるとき、$n = 6k + 5$ ($k$は整数) と表せる。

このとき、$f_n(x) = x^{2(6k+5)} - x^{6k+5} + 1$

$= x^{12k+10} - x^{6k+5} + 1$

$= (x^{12k}x^{10}) - (x^{6k}x^5) + 1$

$x^2 - x + 1 = 0$ の解は $x = \frac{1 \pm \sqrt{1-4}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

これは $x^3 + 1 = (x+1)(x^2-x+1) = 0$ の解でもあるので、$x^3 = -1$.

$x^6 = (x^3)^2 = (-1)^2 = 1$

$f_n(x) = (x^6)^{2k} x^{10} - (x^6)^k x^5 + 1$

$= (1)^{2k} x^{10} - (1)^k x^5 + 1$

$= x^{10} - x^5 + 1$

$= (x^3)^3 x - (x^3) x^2 + 1$

$= (-1)^3 x - (-1) x^2 + 1$

$= -x + x^2 + 1$

$= x^2 - x + 1 = 0$

したがって、$f_n(x)$ は $x^2 - x + 1$ で割り切れる。

3. 最終的な答え

(1) $\alpha^3 = -1$ , $f_5(\alpha) = 0$

(2) $n$ を $6$ で割った余りが $5$ であるとき、$f_n(x)$ は $x^2 - x + 1$ で割り切れる。