$2 \le c \le 3$ を満たす定数 $c$ がある。2次関数 $y = x^2$ のグラフを、2点 $(c, 0)$, $(c+4, 0)$ を通るように平行移動して得られるグラフを $G$ とする。$G$ をグラフにもつ2次関数を $c$ を用いて表し、さらに $G$ が点 $(3, -1)$ を通るとき、$G$ は2次関数 $y = x^2$ のグラフを $x$ 軸方向にどのくらい、$y$ 軸方向にどのくらい平行移動したかを求める問題。

1. 問題の内容

$2 \le c \le 3$ を満たす定数 $c$ がある。2次関数 $y = x^2$ のグラフを、2点 $(c, 0)$, $(c+4, 0)$ を通るように平行移動して得られるグラフを $G$ とする。$G$ をグラフにもつ2次関数を $c$ を用いて表し、さらに $G$ が点 $(3, -1)$ を通るとき、$G$ は2次関数 $y = x^2$ のグラフを $x$ 軸方向にどのくらい、$y$ 軸方向にどのくらい平行移動したかを求める問題。

2. 解き方の手順

まず、$G$ は $(c, 0)$ と $(c+4, 0)$ を通るので、$y = (x-c)(x-(c+4))$ と表せる。

これを展開すると、

$y = x^2 - (c+4+c)x + c(c+4)$

$y = x^2 - (2c+4)x + c^2 + 4c$

したがって、ア = 2, イ = 4 となる。

次に、$G$ が点 $(3, -1)$ を通ることから、$x=3$, $y=-1$ を代入して、$c$ の値を求める。

$-1 = 3^2 - 2(c+2)(3) + c(c+4)$

$-1 = 9 - 6(c+2) + c^2 + 4c$

$-1 = 9 - 6c - 12 + c^2 + 4c$

$0 = c^2 - 2c -1 -9 + 12$

$0 = c^2 - 2c + 2$

$c^2 - 2c + 1 = -1$

$(c-1)^2 = -1$

これは解なし。問題文に誤りがあるか、問題設定がおかしい。

一旦、$c$ を求めることは置いて、$G$ の式を平方完成する。

$y = x^2 - 2(c+2)x + c^2 + 4c$

$y = (x - (c+2))^2 - (c+2)^2 + c^2 + 4c$

$y = (x - (c+2))^2 - (c^2 + 4c + 4) + c^2 + 4c$

$y = (x - (c+2))^2 - 4$

したがって、$G$ は $y=x^2$ を $x$ 軸方向に $c+2$, $y$ 軸方向に $-4$ だけ平行移動したもの。

$c^2 - 2c + 2 = 0$ を解くと、$c = \frac{2 \pm \sqrt{4-8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2} = 1 \pm i$となり、$c$ が実数という条件に合わない。

問題文がおかしいので、仮に $c=1$ とすると、$c+2 = 3$。

したがって、$x$ 軸方向に $3$, $y$ 軸方向に $-4$ だけ平行移動。

ウ = 3, エ = 0, オカ = -4

$c^2 - 2c -1 -9 + 12 = 0$ を解き直すと、

$c^2 - 2c + 2 = 0$

ここが誤り。$-1 = 9 - 6c - 12 + c^2 + 4c$

$-1 = c^2 - 2c -3$

$c^2 - 2c - 2 = 0$

$c = \frac{2 \pm \sqrt{4+8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$

$2 \le c \le 3$ だから、$c = 1+\sqrt{3}$

$c+2 = 3 + \sqrt{3}$

したがって、$x$軸方向に $3+\sqrt{3}$, $y$軸方向に $-4$ だけ平行移動。

3. 最終的な答え

ア = 2

イ = 4

ウ = 3

エ = 3

オカ = -4