与えられた根号を含む式を簡単にすること。具体的には、以下の4つの式を計算します。 (1) $\sqrt{4+2\sqrt{3}}$ (2) $\sqrt{9-2\sqrt{14}}$ (3) $\sqrt{9+\sqrt{80}}$ (4) $\sqrt{12-6\sqrt{3}}$

1. 問題の内容

与えられた根号を含む式を簡単にすること。具体的には、以下の4つの式を計算します。

(1) $\sqrt{4+2\sqrt{3}}$

(2) $\sqrt{9-2\sqrt{14}}$

(3) $\sqrt{9+\sqrt{80}}$

(4) $\sqrt{12-6\sqrt{3}}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{4+2\sqrt{3}}$

$\sqrt{a+b}$ の形の根号を外すことを考えます。$4+2\sqrt{3} = (\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 = x + y + 2\sqrt{xy}$ となるような $x, y$ を探します。

$x+y = 4$, $xy = 3$ となる $x, y$ を見つけると、$x=3, y=1$ が見つかります。

したがって、$\sqrt{4+2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3}+1)^2} = \sqrt{3}+1$

(2) $\sqrt{9-2\sqrt{14}}$

同様に、$9-2\sqrt{14} = (\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 = x + y - 2\sqrt{xy}$ となるような $x, y$ を探します。

$x+y = 9$, $xy = 14$ となる $x, y$ を見つけると、$x=7, y=2$ が見つかります。

したがって、$\sqrt{9-2\sqrt{14}} = \sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{2})^2} = \sqrt{7}-\sqrt{2}$

(3) $\sqrt{9+\sqrt{80}}$

まず、$\sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = 4\sqrt{5}$ なので、$\sqrt{9+\sqrt{80}} = \sqrt{9+4\sqrt{5}}$ となります。

$9+4\sqrt{5} = 9 + 2\sqrt{20}$なので、$9+2\sqrt{20} = (\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 = x + y + 2\sqrt{xy}$ となるような $x, y$ を探します。

$x+y = 9$, $xy = 20$ となる $x, y$ を見つけると、$x=5, y=4$ が見つかります。

したがって、$\sqrt{9+\sqrt{80}} = \sqrt{(\sqrt{5}+2)^2} = \sqrt{5}+2$

(4) $\sqrt{12-6\sqrt{3}}$

$\sqrt{12-6\sqrt{3}} = \sqrt{12-2\sqrt{27}}$なので、$12-2\sqrt{27} = (\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 = x + y - 2\sqrt{xy}$ となるような $x, y$ を探します。

$x+y = 12$, $xy = 27$ となる $x, y$ を見つけると、$x=9, y=3$ が見つかります。

したがって、$\sqrt{12-6\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{9}-\sqrt{3})^2} = \sqrt{(3-\sqrt{3})^2} = 3-\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{3}+1$

(2) $\sqrt{7}-\sqrt{2}$

(3) $\sqrt{5}+2$

(4) $3-\sqrt{3}$