放物線 $y = ax^2 + bx + c$ の頂点の座標が $(1, -3)$ であり、点 $(0, -1)$ を通るとき、$a$, $b$, $c$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = ax^2 + bx + c$ の頂点の座標が $(1, -3)$ であり、点 $(0, -1)$ を通るとき、$a$, $b$, $c$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、頂点の座標が $(1, -3)$ であることから、放物線の方程式を以下のように表すことができます。

$y = a(x - 1)^2 - 3$

次に、この放物線が点 $(0, -1)$ を通ることから、$x = 0$, $y = -1$ を代入して $a$ の値を求めます。

$-1 = a(0 - 1)^2 - 3$

$-1 = a(-1)^2 - 3$

$-1 = a - 3$

$a = 2$

したがって、放物線の方程式は次のようになります。

$y = 2(x - 1)^2 - 3$

これを展開して整理すると、$y = ax^2 + bx + c$ の形になります。

$y = 2(x^2 - 2x + 1) - 3$

$y = 2x^2 - 4x + 2 - 3$

$y = 2x^2 - 4x - 1$

よって、$a = 2$, $b = -4$, $c = -1$ となります。

3. 最終的な答え

$a = 2$, $b = -4$, $c = -1$