次の方程式、不等式を解く問題です。 (1) $|x-6|=2x$ (2) $|x-3|<2x$ (3) $|x|+|x-2|=6$

1. 問題の内容

次の方程式、不等式を解く問題です。

(1) $|x-6|=2x$

(2) $|x-3|<2x$

(3) $|x|+|x-2|=6$

2. 解き方の手順

(1) $|x-6|=2x$

絶対値記号の中の符号によって場合分けします。

(i) $x-6 \geq 0$, すなわち $x \geq 6$ のとき

$x-6 = 2x$

$-x = 6$

$x = -6$

これは$x \geq 6$ を満たさないので不適です。

(ii) $x-6 < 0$, すなわち $x < 6$ のとき

$-(x-6) = 2x$

$-x+6 = 2x$

$3x = 6$

$x = 2$

これは $x < 6$ を満たすので適します。

(2) $|x-3|<2x$

絶対値記号の中の符号によって場合分けします。

(i) $x-3 \geq 0$, すなわち $x \geq 3$ のとき

$x-3 < 2x$

$-x < 3$

$x > -3$

$x \geq 3$ と $x > -3$ を同時に満たすのは $x \geq 3$ です。

(ii) $x-3 < 0$, すなわち $x < 3$ のとき

$-(x-3) < 2x$

$-x+3 < 2x$

$3 < 3x$

$x > 1$

$x < 3$ と $x > 1$ を同時に満たすのは $1 < x < 3$ です。

したがって、(i),(ii)より$x \geq 3$ または $1 < x < 3$なので、$x > 1$

(3) $|x|+|x-2|=6$

絶対値記号が二つあるので、場合分けをします。

(i) $x<0$ のとき

$-x-(x-2)=6$

$-2x+2=6$

$-2x=4$

$x=-2$

これは$x<0$ を満たすので適します。

(ii) $0 \leq x < 2$ のとき

$x-(x-2)=6$

$x-x+2=6$

$2=6$

これは不適です。

(iii) $x \geq 2$ のとき

$x+x-2=6$

$2x-2=6$

$2x=8$

$x=4$

これは$x \geq 2$を満たすので適します。

3. 最終的な答え

(1) $x=2$

(2) $x>1$

(3) $x=-2, 4$