数列 $1, 2, 4, 7, 11, \dots$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $1, 2, 4, 7, 11, \dots$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、階差数列を考えます。与えられた数列を $\{a_n\}$ とすると、

$a_1 = 1, a_2 = 2, a_3 = 4, a_4 = 7, a_5 = 11, \dots$

階差数列 $\{b_n\}$ は、

$b_1 = a_2 - a_1 = 2 - 1 = 1$

$b_2 = a_3 - a_2 = 4 - 2 = 2$

$b_3 = a_4 - a_3 = 7 - 4 = 3$

$b_4 = a_5 - a_4 = 11 - 7 = 4$

よって、階差数列 $\{b_n\}$ は $1, 2, 3, 4, \dots$ となり、これは $b_n = n$ で表されることがわかります。

数列 $\{a_n\}$ の一般項は、階差数列を用いて次のように表されます。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$

$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} k$

ここで、$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$ であるから、

$a_n = 1 + \frac{(n-1)n}{2}$

$a_n = 1 + \frac{n^2 - n}{2}$

$a_n = \frac{2 + n^2 - n}{2}$

$a_n = \frac{n^2 - n + 2}{2}$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{n^2 - n + 2}{2}$