2次関数 $y = x^2$ のグラフを、2点 $(c, 0)$ と $(c+4, 0)$ を通るように平行移動して得られるグラフを $G$ とする。$G$ をグラフにもつ2次関数を $c$ を用いて表すと、 $y = x^2 - 2(c + \text{ア})x + c(c + \text{イ})$ である。 さらに、$G$ が点 $(3, -1)$ を通るとき、$G$ は2次関数 $y = x^2$ のグラフを $x$ 軸方向に $\text{ウ} + \sqrt{\text{エ}}$, $y$ 軸方向に $\text{オカ}$ だけ平行移動したものである。空欄ア、イ、ウ、エ、オカを埋める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2$ のグラフを、2点 $(c, 0)$ と $(c+4, 0)$ を通るように平行移動して得られるグラフを $G$ とする。$G$ をグラフにもつ2次関数を $c$ を用いて表すと、

$y = x^2 - 2(c + \text{ア})x + c(c + \text{イ})$ である。

さらに、$G$ が点 $(3, -1)$ を通るとき、$G$ は2次関数 $y = x^2$ のグラフを $x$ 軸方向に $\text{ウ} + \sqrt{\text{エ}}$, $y$ 軸方向に $\text{オカ}$ だけ平行移動したものである。空欄ア、イ、ウ、エ、オカを埋める。

2. 解き方の手順

まず、$G$ は2点 $(c, 0)$ と $(c+4, 0)$ を通ることから、$G$ の方程式は、

$y = (x - c)(x - (c+4)) = (x - c)(x - c - 4) = x^2 - (c+4)x - cx + c(c+4) = x^2 - (2c+4)x + c(c+4)$

と表せる。

したがって、$y = x^2 - 2(c+2)x + c(c+4)$ となり、アは2、イは4である。

次に、$G$ が点 $(3, -1)$ を通ることから、$x=3, y=-1$ を代入すると、

$-1 = 3^2 - 2(c+2) \cdot 3 + c(c+4)$

$-1 = 9 - 6c - 12 + c^2 + 4c$

$c^2 - 2c - 4 = 0$

$c = \frac{2 \pm \sqrt{4+16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}$

ここで、$2 \le c \le 3$ であることから、$c = 1 + \sqrt{5}$ である。

$c = 1 + \sqrt{5}$ を $G$ の方程式に代入すると、

$y = x^2 - 2(1 + \sqrt{5} + 2)x + (1 + \sqrt{5})(1 + \sqrt{5} + 4) = x^2 - 2(3 + \sqrt{5})x + (1 + \sqrt{5})(5 + \sqrt{5})$

$y = x^2 - (6 + 2\sqrt{5})x + 5 + \sqrt{5} + 5\sqrt{5} + 5 = x^2 - (6 + 2\sqrt{5})x + 10 + 6\sqrt{5}$

$y = x^2 - (6 + 2\sqrt{5})x + 9 + 6\sqrt{5} + 5 + 1 - 5$

$y = (x - (3 + \sqrt{5}))^2 + 1 - 5$

$y = (x - (3 + \sqrt{5}))^2 - 4$

したがって、$G$ は2次関数 $y = x^2$ のグラフを $x$ 軸方向に $3 + \sqrt{5}$、$y$ 軸方向に $-4$ だけ平行移動したものである。よって、ウは3、エは5、オカは-4である。

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 4

ウ: 3

エ: 5

オカ: -4