関数 $y = \log_2{x} + \log_2{(8-x)}$ の最大値を求め、そのときの $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = \log_2{x} + \log_2{(8-x)}$ の最大値を求め、そのときの $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を使って式を簡単にします。

$y = \log_2{x} + \log_2{(8-x)} = \log_2{x(8-x)}$

対数の真数条件より、$x>0$ かつ $8-x>0$ である必要があるため、$0 < x < 8$。

$y$ が最大となるのは $x(8-x)$ が最大となるときです。$f(x) = x(8-x)$ とおきます。

$f(x) = -x^2 + 8x$

平方完成します。

$f(x) = -(x^2 - 8x) = -(x^2 - 8x + 16 - 16) = -(x-4)^2 + 16$

したがって、$f(x)$ は $x=4$ のとき最大値16をとります。

このとき、$y = \log_2{16} = \log_2{2^4} = 4$。

3. 最終的な答え

最大値: 4

そのときのxの値: 4