与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。指示に従い、第3行に沿った余因子展開を用いて計算します。サラスの方法や基本変形も用いることができますが、使用した場合はその旨を明記する必要があります。 行列は以下の通りです。 $ \begin{pmatrix} 2 & 3 & -4 & -5 \\ 3 & -2 & 1 & 0 \\ 5 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & -2 & 1 \end{pmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。指示に従い、第3行に沿った余因子展開を用いて計算します。サラスの方法や基本変形も用いることができますが、使用した場合はその旨を明記する必要があります。

行列は以下の通りです。

$$

\begin{pmatrix}

2 & 3 & -4 & -5 \\

3 & -2 & 1 & 0 \\

5 & 0 & 0 & 2 \\

0 & 3 & -2 & 1

\end{pmatrix}

$$

2. 解き方の手順

第3行に沿った余因子展開を行います。行列式を$|A|$と表すと、

$|A| = 5C_{31} + 0C_{32} + 0C_{33} + 2C_{34}$

ここで$C_{ij}$は$A$の$(i, j)$余因子です。したがって、

$|A| = 5C_{31} + 2C_{34}$

$C_{31}$は、第3行と第1列を取り除いた行列の行列式に$(-1)^{3+1} = 1$をかけたものです。

$C_{31} = (-1)^{3+1}\begin{vmatrix} 3 & -4 & -5 \\ -2 & 1 & 0 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & -4 & -5 \\ -2 & 1 & 0 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix}$

この3x3行列式をサラスの方法で計算します。

$C_{31} = (3\cdot1\cdot1 + (-4)\cdot0\cdot3 + (-5)\cdot(-2)\cdot(-2)) - (3\cdot1\cdot(-5) + (-2)\cdot(-4)\cdot1 + 1\cdot0\cdot3) = (3 + 0 - 20) - (-15 + 8 + 0) = -17 - (-7) = -10$

$C_{34}$は、第3行と第4列を取り除いた行列の行列式に$(-1)^{3+4} = -1$をかけたものです。

$C_{34} = (-1)^{3+4}\begin{vmatrix} 2 & 3 & -4 \\ 3 & -2 & 1 \\ 0 & 3 & -2 \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} 2 & 3 & -4 \\ 3 & -2 & 1 \\ 0 & 3 & -2 \end{vmatrix}$

この3x3行列式をサラスの方法で計算します。

$\begin{vmatrix} 2 & 3 & -4 \\ 3 & -2 & 1 \\ 0 & 3 & -2 \end{vmatrix} = (2\cdot(-2)\cdot(-2) + 3\cdot1\cdot0 + (-4)\cdot3\cdot3) - (0\cdot(-2)\cdot(-4) + 3\cdot3\cdot2 + (-2)\cdot1\cdot3) = (8 + 0 - 36) - (0 + 18 - 6) = -28 - 12 = -40$

したがって、$C_{34} = -(-40) = 40$

$|A| = 5C_{31} + 2C_{34} = 5(-10) + 2(40) = -50 + 80 = 30$

3. 最終的な答え

30