与えられた4x4行列の行列式を、第3行に沿った余因子展開を用いて計算する問題です。サラスの規則や基本変形を用いることも可能です。

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を、第3行に沿った余因子展開を用いて計算する問題です。サラスの規則や基本変形を用いることも可能です。

2. 解き方の手順

問題の行列を $A$ とします。

$A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & -4 & -5 \\ 3 & -2 & 1 & 0 \\ 5 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & -2 & 1 \end{pmatrix}$

第3行に沿って余因子展開を行います。第3行の要素は $5, 0, 0, 2$ です。

行列式は以下の式で計算できます。

$det(A) = 5 \cdot C_{31} + 0 \cdot C_{32} + 0 \cdot C_{33} + 2 \cdot C_{34}$

ここで $C_{ij}$ は $(i, j)$ 成分の余因子です。式を簡略化すると

$det(A) = 5 \cdot C_{31} + 2 \cdot C_{34}$

余因子 $C_{31}$ は、第3行と第1列を取り除いた3x3行列の行列式に $(-1)^{3+1} = 1$ を掛けたものです。

$C_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 3 & -4 & -5 \\ -2 & 1 & 0 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix}$

$C_{31} = \begin{vmatrix} 3 & -4 & -5 \\ -2 & 1 & 0 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix} = 3(1 - 0) - (-4)(-2 - 0) + (-5)(4 - 3) = 3 - 8 - 5 = -10$

余因子 $C_{34}$ は、第3行と第4列を取り除いた3x3行列の行列式に $(-1)^{3+4} = -1$ を掛けたものです。

$C_{34} = (-1)^{3+4} \begin{vmatrix} 2 & 3 & -4 \\ 3 & -2 & 1 \\ 0 & 3 & -2 \end{vmatrix}$

$C_{34} = - \begin{vmatrix} 2 & 3 & -4 \\ 3 & -2 & 1 \\ 0 & 3 & -2 \end{vmatrix} = - [2(4 - 3) - 3(-6 - 0) + (-4)(9 - 0)] = - [2 + 18 - 36] = -[-16] = 16$

よって、$det(A)$ は次のようになります。

$det(A) = 5 \cdot (-10) + 2 \cdot (16) = -50 + 32 = -18$

3. 最終的な答え

-18