関数 $y = \frac{2x+1}{x-p}$ の逆関数が元の関数と一致するとき、定数 $p$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{2x+1}{x-p}$ の逆関数が元の関数と一致するとき、定数 $p$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

関数 $y = \frac{2x+1}{x-p}$ の逆関数を求め、それが元の関数と一致する条件を考えます。

まず、$y = \frac{2x+1}{x-p}$ を $x$ について解きます。

$y(x-p) = 2x+1$

$yx - py = 2x+1$

$yx - 2x = py + 1$

$x(y-2) = py+1$

$x = \frac{py+1}{y-2}$

したがって、逆関数は $y = \frac{px+1}{x-2}$ です。

この逆関数が元の関数 $y = \frac{2x+1}{x-p}$ と一致するということは、

$\frac{px+1}{x-2} = \frac{2x+1}{x-p}$

が成り立つということです。

分母を払うと、

$(px+1)(x-p) = (2x+1)(x-2)$

$px^2 - p^2x + x - p = 2x^2 - 4x + x - 2$

$px^2 - p^2x + x - p = 2x^2 - 3x - 2$

これが任意の $x$ について成り立つためには、$x^2$ の係数、$x$ の係数、定数項がそれぞれ等しくなければなりません。

したがって、

$p = 2$

$-p^2 + 1 = -3$

$-p = -2$

最初の式より、$p=2$

2番目の式より、$-p^2 = -4$, $p^2 = 4$, $p = \pm 2$

3番目の式より、$p=2$

したがって、$p = 2$ が条件を満たします。

3. 最終的な答え

$p = 2$