関数 $f(x) = x^2 - 5x + 3$ について、$0 \le x \le a$ の範囲における最大値を $M$、最小値を $m$ とする。以下の3つの場合について、$M$ と $m$ の値を求める問題。 (1) $0 < a < \frac{5}{2}$ (2) $\frac{5}{2} \le a \le 5$ (3) $a > 5$

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 - 5x + 3$ について、$0 \le x \le a$ の範囲における最大値を $M$、最小値を $m$ とする。以下の3つの場合について、$M$ と $m$ の値を求める問題。

(1) $0 < a < \frac{5}{2}$

(2) $\frac{5}{2} \le a \le 5$

(3) $a > 5$

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $f(x) = x^2 - 5x + 3$ を平方完成する。

$f(x) = (x - \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4} + 3 = (x - \frac{5}{2})^2 - \frac{13}{4}$

これにより、この関数の頂点が $(\frac{5}{2}, -\frac{13}{4})$ であることがわかる。

軸 $x = \frac{5}{2}$ を基準に、$0 \le x \le a$ の範囲で最大値と最小値を考える。

(1) $0 < a < \frac{5}{2}$ のとき

この範囲では、頂点が範囲に含まれないため、最小値は $x = a$ のときにとり、最大値は $x = 0$ のときにとる。

$m = f(a) = a^2 - 5a + 3$

$M = f(0) = 3$

(2) $\frac{5}{2} \le a \le 5$ のとき

この範囲では、頂点が範囲に含まれるため、最小値は $x = \frac{5}{2}$ のときにとる。最大値は $x = 0$ または $x = a$ のときにとる。

$m = f(\frac{5}{2}) = -\frac{13}{4}$

$x=0$ のとき $f(0)=3$

$x=a$ のとき $f(a) = a^2 - 5a + 3$

$f(0) - f(a) = 3 - (a^2 - 5a + 3) = -a^2 + 5a = a(5-a)$

$\frac{5}{2} \le a \le 5$ より、$a(5-a) \ge 0$ なので、$f(0) \ge f(a)$

よって、 $M = f(0) = 3$

(3) $a > 5$ のとき

この範囲では、頂点が範囲に含まれるため、最小値は $x = \frac{5}{2}$ のときにとる。最大値は $x = a$ のときにとる。

$m = f(\frac{5}{2}) = -\frac{13}{4}$

$M = f(a) = a^2 - 5a + 3$

3. 最終的な答え

(1) $M = 3$, $m = a^2 - 5a + 3$

(2) $M = 3$, $m = -\frac{13}{4}$

(3) $M = a^2 - 5a + 3$, $m = -\frac{13}{4}$