2つの2次方程式が与えられており、それぞれ括弧内に示された解を持つ。それぞれの問題に対して、定数 $m$ の値を求め、もう一つの解を求める。 (1) $3x^2 - 2mx - m^2 = 0$ で、$x=1$ が解の一つ。 (2) $x^2 - 3(m+1)x + m^2 - 2 = 0$ で、$x=-1$ が解の一つ。

1. 問題の内容

2つの2次方程式が与えられており、それぞれ括弧内に示された解を持つ。それぞれの問題に対して、定数 $m$ の値を求め、もう一つの解を求める。

(1) $3x^2 - 2mx - m^2 = 0$ で、$x=1$ が解の一つ。

(2) $x^2 - 3(m+1)x + m^2 - 2 = 0$ で、$x=-1$ が解の一つ。

2. 解き方の手順

(1) $3x^2 - 2mx - m^2 = 0$ について、$x=1$を代入する。

$3(1)^2 - 2m(1) - m^2 = 0$

$3 - 2m - m^2 = 0$

$m^2 + 2m - 3 = 0$

$(m+3)(m-1) = 0$

したがって、$m = -3$ または $m = 1$

$m = -3$ の場合、方程式は $3x^2 + 6x - 9 = 0$ となり、$x^2 + 2x - 3 = 0$ を得る。

$(x+3)(x-1) = 0$

よって、$x = 1$ または $x = -3$。$x=1$ が与えられているので、もう一つの解は $x=-3$。

$m = 1$ の場合、方程式は $3x^2 - 2x - 1 = 0$ となり、$(3x+1)(x-1) = 0$ を得る。

よって、$x = 1$ または $x = -\frac{1}{3}$。$x=1$ が与えられているので、もう一つの解は $x=-\frac{1}{3}$。

(2) $x^2 - 3(m+1)x + m^2 - 2 = 0$ について、$x=-1$を代入する。

$(-1)^2 - 3(m+1)(-1) + m^2 - 2 = 0$

$1 + 3(m+1) + m^2 - 2 = 0$

$1 + 3m + 3 + m^2 - 2 = 0$

$m^2 + 3m + 2 = 0$

$(m+1)(m+2) = 0$

したがって、$m = -1$ または $m = -2$

$m = -1$ の場合、方程式は $x^2 - 3(-1+1)x + (-1)^2 - 2 = 0$ となり、$x^2 - 1 = 0$ を得る。

$(x-1)(x+1) = 0$

よって、$x = 1$ または $x = -1$。$x=-1$ が与えられているので、もう一つの解は $x=1$。

$m = -2$ の場合、方程式は $x^2 - 3(-2+1)x + (-2)^2 - 2 = 0$ となり、$x^2 + 3x + 2 = 0$ を得る。

$(x+1)(x+2) = 0$

よって、$x = -1$ または $x = -2$。$x=-1$ が与えられているので、もう一つの解は $x=-2$。

3. 最終的な答え

(1) $m = -3$ のとき、他の解は $x = -3$

$m = 1$ のとき、他の解は $x = -\frac{1}{3}$

(2) $m = -1$ のとき、他の解は $x = 1$

$m = -2$ のとき、他の解は $x = -2$