$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式を解く問題です。 (1) $\cos 2\theta + \sin \theta = 0$ (2) $\sin 2\theta = \cos \theta$

1. 問題の内容

$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式を解く問題です。

(1) $\cos 2\theta + \sin \theta = 0$

(2) $\sin 2\theta = \cos \theta$

2. 解き方の手順

(1) $\cos 2\theta + \sin \theta = 0$

$\cos 2\theta$ を $\sin \theta$ で表すために、倍角の公式 $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$ を用います。

すると、

$1 - 2\sin^2 \theta + \sin \theta = 0$

$2\sin^2 \theta - \sin \theta - 1 = 0$

$(\sin \theta - 1)(2\sin \theta + 1) = 0$

よって、$\sin \theta = 1$ または $\sin \theta = -\frac{1}{2}$

$\sin \theta = 1$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{2}$

$\sin \theta = -\frac{1}{2}$ のとき、$\theta = \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$

(2) $\sin 2\theta = \cos \theta$

$\sin 2\theta$ を $\sin \theta$ と $\cos \theta$ で表すために、倍角の公式 $\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$ を用います。

すると、

$2\sin \theta \cos \theta = \cos \theta$

$2\sin \theta \cos \theta - \cos \theta = 0$

$\cos \theta(2\sin \theta - 1) = 0$

よって、$\cos \theta = 0$ または $\sin \theta = \frac{1}{2}$

$\cos \theta = 0$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$

$\sin \theta = \frac{1}{2}$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$

(2) $\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}$