与えられた4つの式を展開し、選択肢のアからコの中から該当する式を選び、記号で答える問題です。 (1) $(x+y-z)(x-y+z)$ (2) $(x-y+z)^2$ (3) $(x-y)^3$ (4) $(x-y)(x^2+xy+y^2)$

1. 問題の内容

与えられた4つの式を展開し、選択肢のアからコの中から該当する式を選び、記号で答える問題です。

(1) $(x+y-z)(x-y+z)$

(2) $(x-y+z)^2$

(3) $(x-y)^3$

(4) $(x-y)(x^2+xy+y^2)$

2. 解き方の手順

(1) $(x+y-z)(x-y+z)$ を展開します。

$x+y-z = x + (y-z)$ 、 $x-y+z = x - (y-z)$と見なせるので、和と差の積の公式 $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$を利用すると、

$(x+y-z)(x-y+z) = (x+(y-z))(x-(y-z)) = x^2 - (y-z)^2$

$= x^2 - (y^2 -2yz + z^2) = x^2 - y^2 + 2yz - z^2$

よって、答えは「ケ」です。

(2) $(x-y+z)^2$ を展開します。

$(x-y+z)^2 = (x-y+z)(x-y+z) = ((x-y)+z)((x-y)+z) = (x-y)^2 + 2(x-y)z + z^2$

$= x^2 - 2xy + y^2 + 2xz - 2yz + z^2 = x^2 + y^2 + z^2 - 2xy - 2yz + 2xz$

よって、答えは「コ」です。

(3) $(x-y)^3$ を展開します。

$(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$

よって、答えは「オ」です。

(4) $(x-y)(x^2+xy+y^2)$ を展開します。

$(x-y)(x^2+xy+y^2) = x^3 - y^3$

よって、答えは「ア」です。

3. 最終的な答え

17: ケ

18: コ

19: オ

20: ア