与えられた6つの2次方程式を解く問題です。 (1) $x^2 - 4x - 2 = 0$ (2) $4x^2 + 11x - 3 = 0$ (3) $x^2 - 5\sqrt{3}x + 18 = 0$ (4) $20x - 25 - 4x^2 = 0$ (5) $1.5x(2 - 0.5x) = 0.5x + 2$ (6) $(x+\sqrt{2})^2 + 2(x+\sqrt{2}) - 3 = 0$

1. 問題の内容

与えられた6つの2次方程式を解く問題です。

(1) $x^2 - 4x - 2 = 0$

(2) $4x^2 + 11x - 3 = 0$

(3) $x^2 - 5\sqrt{3}x + 18 = 0$

(4) $20x - 25 - 4x^2 = 0$

(5) $1.5x(2 - 0.5x) = 0.5x + 2$

(6) $(x+\sqrt{2})^2 + 2(x+\sqrt{2}) - 3 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 - 4x - 2 = 0$

解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を用いる。

$a = 1, b = -4, c = -2$ なので、

$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 8}}{2}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2}$

$x = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{2}$

$x = 2 \pm \sqrt{6}$

(2) $4x^2 + 11x - 3 = 0$

因数分解できるか試す。 $(4x - 1)(x + 3) = 0$

したがって、$4x - 1 = 0$ または $x + 3 = 0$

$x = \frac{1}{4}$ または $x = -3$

(3) $x^2 - 5\sqrt{3}x + 18 = 0$

解の公式を用いる。

$a = 1, b = -5\sqrt{3}, c = 18$

$x = \frac{5\sqrt{3} \pm \sqrt{(-5\sqrt{3})^2 - 4(1)(18)}}{2(1)}$

$x = \frac{5\sqrt{3} \pm \sqrt{75 - 72}}{2}$

$x = \frac{5\sqrt{3} \pm \sqrt{3}}{2}$

$x = \frac{5\sqrt{3} + \sqrt{3}}{2}$ または $x = \frac{5\sqrt{3} - \sqrt{3}}{2}$

$x = \frac{6\sqrt{3}}{2}$ または $x = \frac{4\sqrt{3}}{2}$

$x = 3\sqrt{3}$ または $x = 2\sqrt{3}$

(4) $20x - 25 - 4x^2 = 0$

$4x^2 - 20x + 25 = 0$

$(2x - 5)^2 = 0$

$2x - 5 = 0$

$x = \frac{5}{2}$

(5) $1.5x(2 - 0.5x) = 0.5x + 2$

$3x - 0.75x^2 = 0.5x + 2$

$0.75x^2 - 2.5x + 2 = 0$

$3x^2 - 10x + 8 = 0$

$(3x - 4)(x - 2) = 0$

$3x - 4 = 0$ または $x - 2 = 0$

$x = \frac{4}{3}$ または $x = 2$

(6) $(x+\sqrt{2})^2 + 2(x+\sqrt{2}) - 3 = 0$

$y = x + \sqrt{2}$ とおくと、

$y^2 + 2y - 3 = 0$

$(y + 3)(y - 1) = 0$

$y = -3$ または $y = 1$

$x + \sqrt{2} = -3$ または $x + \sqrt{2} = 1$

$x = -3 - \sqrt{2}$ または $x = 1 - \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $x = 2 \pm \sqrt{6}$

(2) $x = \frac{1}{4}, -3$

(3) $x = 3\sqrt{3}, 2\sqrt{3}$

(4) $x = \frac{5}{2}$

(5) $x = \frac{4}{3}, 2$

(6) $x = -3 - \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$