ベクトル $\vec{a} = (-1, x)$ と $\vec{b} = (-4, 3)$ が与えられている。 (1) ベクトル $2\vec{a} + \vec{b}$ とベクトル $\vec{a} - \vec{b}$ が平行になるような $x$ の値を求める。 (2) ベクトル $2\vec{a} + \vec{b}$ とベクトル $\vec{a} - \vec{b}$ が垂直になるような $x$ の値を求める。

代数学ベクトル内積平行垂直連立方程式
2025/7/2

1. 問題の内容

ベクトル a=(1,x)\vec{a} = (-1, x)b=(4,3)\vec{b} = (-4, 3) が与えられている。
(1) ベクトル 2a+b2\vec{a} + \vec{b} とベクトル ab\vec{a} - \vec{b} が平行になるような xx の値を求める。
(2) ベクトル 2a+b2\vec{a} + \vec{b} とベクトル ab\vec{a} - \vec{b} が垂直になるような xx の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)
まず、2a+b2\vec{a} + \vec{b}ab\vec{a} - \vec{b} を計算する。
2a+b=2(1,x)+(4,3)=(2,2x)+(4,3)=(6,2x+3)2\vec{a} + \vec{b} = 2(-1, x) + (-4, 3) = (-2, 2x) + (-4, 3) = (-6, 2x+3)
ab=(1,x)(4,3)=(1+4,x3)=(3,x3)\vec{a} - \vec{b} = (-1, x) - (-4, 3) = (-1+4, x-3) = (3, x-3)
2a+b2\vec{a} + \vec{b}ab\vec{a} - \vec{b} が平行であるとき、2a+b=k(ab)2\vec{a} + \vec{b} = k(\vec{a} - \vec{b}) を満たす実数 kk が存在する。
よって、
(6,2x+3)=k(3,x3)(-6, 2x+3) = k(3, x-3)
6=3k-6 = 3k より k=2k = -2
2x+3=k(x3)2x+3 = k(x-3)
2x+3=2(x3)2x+3 = -2(x-3)
2x+3=2x+62x+3 = -2x+6
4x=34x = 3
x=34x = \frac{3}{4}
(2)
2a+b2\vec{a} + \vec{b}ab\vec{a} - \vec{b} が垂直であるとき、内積は0である。
(2a+b)(ab)=0(2\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 0
(6,2x+3)(3,x3)=0(-6, 2x+3) \cdot (3, x-3) = 0
(6)(3)+(2x+3)(x3)=0(-6)(3) + (2x+3)(x-3) = 0
18+2x26x+3x9=0-18 + 2x^2 -6x + 3x -9 = 0
2x23x27=02x^2 -3x -27 = 0
(2x9)(x+3)=0(2x-9)(x+3) = 0
x=92,3x = \frac{9}{2}, -3

3. 最終的な答え

(1) x=34x = \frac{3}{4}
(2) x=92,3x = \frac{9}{2}, -3

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