画像の問題は、以下の4つの方程式を解く問題です。 * (7)(1) $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ * (7)(2) $x^4 + 7x^2 - 8 = 0$ * (7)(3) $x^4 - 25 = 0$ * (8)(1) $x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = 0$

## 問題の解答

1. 問題の内容

画像の問題は、以下の4つの方程式を解く問題です。

* (7)(1) $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$

* (7)(2) $x^4 + 7x^2 - 8 = 0$

* (7)(3) $x^4 - 25 = 0$

* (8)(1) $x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = 0$

2. 解き方の手順

**(7)(1) $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ の解き方**

$X = x^2$ とおくと、与式は $X^2 - 5X + 4 = 0$ となります。

これは $(X - 1)(X - 4) = 0$ と因数分解できます。

よって $X = 1, 4$ となります。

$x^2 = 1$ のとき、$x = \pm 1$ です。

$x^2 = 4$ のとき、$x = \pm 2$ です。

**(7)(2) $x^4 + 7x^2 - 8 = 0$ の解き方**

$X = x^2$ とおくと、与式は $X^2 + 7X - 8 = 0$ となります。

これは $(X + 8)(X - 1) = 0$ と因数分解できます。

よって $X = -8, 1$ となります。

$x^2 = -8$ のとき、$x = \pm 2\sqrt{2}i$ です。

$x^2 = 1$ のとき、$x = \pm 1$ です。

**(7)(3) $x^4 - 25 = 0$ の解き方**

与式は $(x^2 - 5)(x^2 + 5) = 0$ と因数分解できます。

$x^2 = 5$ のとき、$x = \pm \sqrt{5}$ です。

$x^2 = -5$ のとき、$x = \pm \sqrt{5}i$ です。

**(8)(1) $x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = 0$ の解き方**

この三次方程式を解くために、因数定理を利用します。

$x = 2$ を代入すると、$2^3 + 3(2^2) - 4(2) - 12 = 8 + 12 - 8 - 12 = 0$ となり、

$x = 2$ はこの方程式の解の一つです。

よって、$(x - 2)$ を因数に持ちます。

組み立て除法を行うと、

$x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = (x - 2)(x^2 + 5x + 6) = 0$ となります。

さらに、$x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) = 0$ と因数分解できます。

したがって、$x = 2, -2, -3$ です。

3. 最終的な答え

* (7)(1) $x = \pm 1, \pm 2$

* (7)(2) $x = \pm 1, \pm 2\sqrt{2}i$

* (7)(3) $x = \pm \sqrt{5}, \pm \sqrt{5}i$

* (8)(1) $x = 2, -2, -3$