多項式 $P(x) = x^3 + ax^2 - 4$ を $x+1$ で割ったときの余りが $-3$ であるとき、定数 $a$ の値を求めよ。

## 問題284

1. 問題の内容

多項式 $P(x) = x^3 + ax^2 - 4$ を $x+1$ で割ったときの余りが $-3$ であるとき、定数 $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

剰余の定理より、多項式 $P(x)$ を $x+1$ で割ったときの余りは $P(-1)$ である。

したがって、$P(-1) = -3$ である。

$P(x) = x^3 + ax^2 - 4$ に $x = -1$ を代入すると、

$P(-1) = (-1)^3 + a(-1)^2 - 4 = -1 + a - 4 = a - 5$

$a - 5 = -3$

$a = -3 + 5$

$a = 2$

3. 最終的な答え

$a = 2$

## 問題285

1. 問題の内容

多項式 $P(x) = 2x^3 - ax^2 + 2$ が $2x+1$ で割り切れるとき、定数 $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$2x+1 = 0$ となる $x$ は $x = -\frac{1}{2}$ である。

多項式 $P(x)$ が $2x+1$ で割り切れるとき、$P(-\frac{1}{2}) = 0$ である。

$P(x) = 2x^3 - ax^2 + 2$ に $x = -\frac{1}{2}$ を代入すると、

$P(-\frac{1}{2}) = 2(-\frac{1}{2})^3 - a(-\frac{1}{2})^2 + 2 = 2(-\frac{1}{8}) - a(\frac{1}{4}) + 2 = -\frac{1}{4} - \frac{a}{4} + 2$

$-\frac{1}{4} - \frac{a}{4} + 2 = 0$

両辺に4を掛けて、

$-1 - a + 8 = 0$

$-a + 7 = 0$

$a = 7$

3. 最終的な答え

$a = 7$