座標平面上に正方形OABCがあり、点Aはx軸上、点Cはy軸上にあります。Aのx座標とCのy座標はともに22です。辺OA上に点Pをとり、角PCBの二等分線と辺ABの交点をQとします。線分OQとCPの交点をRとします。OP:OC:CP = 3:4:5であるとき、 (1) 直線CQの式を求めなさい。 (2) 三角形CRQの面積を求めなさい。ただし、座標軸の1目盛りを1cmとします。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

座標平面上に正方形OABCがあり、点Aはx軸上、点Cはy軸上にあります。Aのx座標とCのy座標はともに22です。辺OA上に点Pをとり、角PCBの二等分線と辺ABの交点をQとします。線分OQとCPの交点をRとします。OP:OC:CP = 3:4:5であるとき、

(1) 直線CQの式を求めなさい。

(2) 三角形CRQの面積を求めなさい。ただし、座標軸の1目盛りを1cmとします。

2. 解き方の手順

(1) 直線CQの式を求める。

まず、各点の座標を求めます。

O(0, 0), A(22, 0), B(22, 22), C(0, 22)

OP:OC = 3:4より、OP = (3/4) * OC = (3/4) * 22 = 33/2

よって、P(33/2, 0)

CPの傾きは、$\frac{22-0}{0-\frac{33}{2}} = \frac{22}{-\frac{33}{2}} = -\frac{4}{3}$

CPの方程式は、$y = -\frac{4}{3} x + 22$

角PCBの二等分線なので、角PCB = 2*角QCB

直線CQは角PCBを二等分するので、直線CQと直線CBのなす角は、直線CQと直線CPのなす角と等しい。

直線CBの傾きは0なので、直線CQの傾きをmとすると、角の二等分線の公式から、

$\frac{m-0}{1+m*0} = \frac{-\frac{4}{3}-m}{1+(-\frac{4}{3})m}$

$m = \frac{-\frac{4}{3}-m}{1-\frac{4}{3}m}$

$m(1-\frac{4}{3}m) = -\frac{4}{3} - m$

$m - \frac{4}{3}m^2 = -\frac{4}{3} - m$

$2m - \frac{4}{3}m^2 + \frac{4}{3} = 0$

$6m - 4m^2 + 4 = 0$

$2m^2 - 3m - 2 = 0$

$(2m+1)(m-2) = 0$

$m = -\frac{1}{2}, 2$

点Qは線分AB上にあるので、CQの傾きは負。

したがって、直線CQの傾きは$-\frac{1}{2}$

点Qは辺AB上にあるので、x座標は22

直線CQの方程式を $y = -\frac{1}{2}x + b$ とおくと、C(0, 22)を通るので、$b = 22$

直線CQの方程式は、$y = -\frac{1}{2}x + 22$

点Qのy座標は、$y = -\frac{1}{2}*22 + 22 = -11 + 22 = 11$

よって、Q(22, 11)

(2) 三角形CRQの面積を求める。

直線OQの方程式は、$y = \frac{11}{22} x = \frac{1}{2} x$

直線CPの方程式は、$y = -\frac{4}{3} x + 22$

交点Rは、$\frac{1}{2} x = -\frac{4}{3} x + 22$

$\frac{3}{6} x + \frac{8}{6} x = 22$

$\frac{11}{6} x = 22$

$x = 12$

$y = \frac{1}{2} * 12 = 6$

R(12, 6)

三角形CRQの面積は、

C(0, 22), R(12, 6), Q(22, 11)

面積 = $\frac{1}{2} |(0(6-11) + 12(11-22) + 22(22-6))|$

= $\frac{1}{2} |0 - 12*11 + 22*16|$

= $\frac{1}{2} |-132 + 352|$

= $\frac{1}{2} |220| = 110$

3. 最終的な答え

(1) 直線CQの式: $y = -\frac{1}{2}x + 22$

(2) 三角形CRQの面積: 110 cm^2