楕円 $C_1: \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$ の焦点を $F, F'$ とする。ただし、$F$ の $x$ 座標は正である。正の実数 $m$ に対し、2直線 $y=mx, y=-mx$ を漸近線にもち、2点 $F, F'$ を焦点とする双曲線を $C_2$ とする。$C_1, C_2$ の交点であって、第1象限にあるものを $P$ とする。 (1) $C_2$ の方程式を $m$ を用いて表せ。 (2) 線分 $FP$ および線分 $F'P$ の長さを $m$ を用いて表せ。 (3) $\angle F'PF = 60^\circ$ となる $m$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

楕円 $C_1: \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$ の焦点を $F, F'$ とする。ただし、$F$ の $x$ 座標は正である。正の実数 $m$ に対し、2直線 $y=mx, y=-mx$ を漸近線にもち、2点 $F, F'$ を焦点とする双曲線を $C_2$ とする。$C_1, C_2$ の交点であって、第1象限にあるものを $P$ とする。

(1) $C_2$ の方程式を $m$ を用いて表せ。

(2) 線分 $FP$ および線分 $F'P$ の長さを $m$ を用いて表せ。

(3) $\angle F'PF = 60^\circ$ となる $m$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、楕円 $C_1$ の焦点 $F, F'$ を求める。

$a^2 = 9, b^2 = 5$ より、$c^2 = a^2 - b^2 = 9 - 5 = 4$。

よって、$c = 2$ であり、$F(2, 0), F'(-2, 0)$ である。

次に、双曲線 $C_2$ の方程式を求める。焦点が $F(2, 0), F'(-2, 0)$ であるから、中心は原点であり、$C_2$ は $x$ 軸を主軸とする。

$C_2$ の方程式を $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ とおく。焦点の座標から、$a^2 + b^2 = 2^2 = 4$。

漸近線が $y = \pm mx$ であるから、$\frac{b}{a} = m$。すなわち、$b = am$。

$a^2 + b^2 = a^2 + (am)^2 = a^2(1 + m^2) = 4$。

よって、$a^2 = \frac{4}{1+m^2}, b^2 = \frac{4m^2}{1+m^2}$。

したがって、$C_2$ の方程式は $\frac{x^2}{\frac{4}{1+m^2}} - \frac{y^2}{\frac{4m^2}{1+m^2}} = 1$。

整理して、$\frac{(1+m^2)x^2}{4} - \frac{(1+m^2)y^2}{4m^2} = 1$。

(2)

$P$ は $C_1$ と $C_2$ の交点であるから、$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$ と $\frac{(1+m^2)x^2}{4} - \frac{(1+m^2)y^2}{4m^2} = 1$ を満たす。

$C_2$ の式を変形すると、$(1+m^2)x^2 - \frac{1+m^2}{m^2}y^2 = 4$。

$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$ より、$5x^2 + 9y^2 = 45$。よって、$y^2 = \frac{45-5x^2}{9} = 5 - \frac{5}{9}x^2$。

これを $C_2$ の式に代入すると、

$(1+m^2)x^2 - \frac{1+m^2}{m^2}(5 - \frac{5}{9}x^2) = 4$

$(1+m^2)x^2 - \frac{5(1+m^2)}{m^2} + \frac{5(1+m^2)}{9m^2}x^2 = 4$

$(1+m^2 + \frac{5(1+m^2)}{9m^2})x^2 = 4 + \frac{5(1+m^2)}{m^2}$

$\frac{9m^2+9m^4+5+5m^2}{9m^2}x^2 = \frac{4m^2+5+5m^2}{m^2}$

$\frac{9m^4+14m^2+5}{9m^2}x^2 = \frac{9m^2+5}{m^2}$

$x^2 = \frac{9(9m^2+5)}{9m^4+14m^2+5}$

$x^2 = \frac{9(9m^2+5)}{(9m^2+5)(m^2+1)} = \frac{9}{m^2+1}$

$x = \frac{3}{\sqrt{m^2+1}}$

$y^2 = 5 - \frac{5}{9}x^2 = 5 - \frac{5}{9}\cdot \frac{9}{m^2+1} = 5 - \frac{5}{m^2+1} = \frac{5m^2+5-5}{m^2+1} = \frac{5m^2}{m^2+1}$

$y = \frac{\sqrt{5}m}{\sqrt{m^2+1}}$

よって、$P(\frac{3}{\sqrt{m^2+1}}, \frac{\sqrt{5}m}{\sqrt{m^2+1}})$

$FP = \sqrt{(x-2)^2 + y^2} = \sqrt{(\frac{3}{\sqrt{m^2+1}}-2)^2 + \frac{5m^2}{m^2+1}}$

$= \sqrt{\frac{9}{m^2+1} - \frac{12}{\sqrt{m^2+1}} + 4 + \frac{5m^2}{m^2+1}} = \sqrt{\frac{9+5m^2+4m^2+4}{m^2+1} - \frac{12}{\sqrt{m^2+1}}}$

$= \sqrt{\frac{9m^2+13}{m^2+1} - \frac{12}{\sqrt{m^2+1}}} = 3 - \frac{4}{\sqrt{m^2+1}}$

$F'P = \sqrt{(x+2)^2 + y^2} = \sqrt{(\frac{3}{\sqrt{m^2+1}}+2)^2 + \frac{5m^2}{m^2+1}}$

$= \sqrt{\frac{9}{m^2+1} + \frac{12}{\sqrt{m^2+1}} + 4 + \frac{5m^2}{m^2+1}} = \sqrt{\frac{9+5m^2+4m^2+4}{m^2+1} + \frac{12}{\sqrt{m^2+1}}}$

$= \sqrt{\frac{9m^2+13}{m^2+1} + \frac{12}{\sqrt{m^2+1}}} = 3 + \frac{4}{\sqrt{m^2+1}}$

(3)

$\angle F'PF = 60^\circ$ であるから、余弦定理より、

$(F'F)^2 = (FP)^2 + (F'P)^2 - 2FP\cdot F'P \cos{60^\circ}$

$4^2 = (3-\frac{4}{\sqrt{m^2+1}})^2 + (3+\frac{4}{\sqrt{m^2+1}})^2 - 2(3-\frac{4}{\sqrt{m^2+1}})(3+\frac{4}{\sqrt{m^2+1}})\frac{1}{2}$

$16 = 9 - \frac{24}{\sqrt{m^2+1}} + \frac{16}{m^2+1} + 9 + \frac{24}{\sqrt{m^2+1}} + \frac{16}{m^2+1} - (9 - \frac{16}{m^2+1})$

$16 = 18 + \frac{32}{m^2+1} - 9 + \frac{16}{m^2+1}$

$16 = 9 + \frac{48}{m^2+1}$

$7 = \frac{48}{m^2+1}$

$7m^2 + 7 = 48$

$7m^2 = 41$

$m^2 = \frac{41}{7}$

$m = \sqrt{\frac{41}{7}} = \frac{\sqrt{287}}{7}$

3. 最終的な答え

(1) $C_2$ の方程式: $\frac{(1+m^2)x^2}{4} - \frac{(1+m^2)y^2}{4m^2} = 1$

(2) $FP = 3 - \frac{4}{\sqrt{m^2+1}}$, $F'P = 3 + \frac{4}{\sqrt{m^2+1}}$

(3) $m = \frac{\sqrt{287}}{7}$