与えられた分数の分母を有理化する問題です。つまり、$\frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{3}}$ の分母に根号がない形に変形します。

1. 問題の内容

与えられた分数の分母を有理化する問題です。つまり、$\frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{3}}$ の分母に根号がない形に変形します。

2. 解き方の手順

分母を有理化するには、分母の共役な複素数を分母と分子にかけます。分母が $\sqrt{7} + \sqrt{3}$ の場合、共役な複素数は $\sqrt{7} - \sqrt{3}$ です。したがって、分子と分母に $\sqrt{7} - \sqrt{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{\sqrt{7} - \sqrt{3}}$

分子は $1 \times (\sqrt{7} - \sqrt{3}) = \sqrt{7} - \sqrt{3}$ となります。

分母は $(\sqrt{7} + \sqrt{3})(\sqrt{7} - \sqrt{3})$ となり、これは $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ の形を利用できます。

$(\sqrt{7} + \sqrt{3})(\sqrt{7} - \sqrt{3}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2 = 7 - 3 = 4$

したがって、

$\frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{4}$