数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_1 = \frac{1}{2}$ および $S_n = n^2 a_n$ ($n=1, 2, 3, \dots$) を満たすとき、以下の問いに答える問題です。 (1) $n \ge 2$ のとき、$a_n$ と $a_{n-1}$ の間に成り立つ関係式を求める。 (2) $a_n$ と $S_n$ を $n$ の式で表す。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_1 = \frac{1}{2}$ および $S_n = n^2 a_n$ ($n=1, 2, 3, \dots$) を満たすとき、以下の問いに答える問題です。

(1) $n \ge 2$ のとき、$a_n$ と $a_{n-1}$ の間に成り立つ関係式を求める。

(2) $a_n$ と $S_n$ を $n$ の式で表す。

2. 解き方の手順

(1) $n \ge 2$ のとき、$S_n = n^2 a_n$ と $S_{n-1} = (n-1)^2 a_{n-1}$ が成り立つ。

$S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_{n-1} + a_n = S_{n-1} + a_n$ であるから、

$S_n = S_{n-1} + a_n$

$n^2 a_n = (n-1)^2 a_{n-1} + a_n$

$n^2 a_n - a_n = (n-1)^2 a_{n-1}$

$(n^2 - 1) a_n = (n-1)^2 a_{n-1}$

$(n-1)(n+1) a_n = (n-1)^2 a_{n-1}$

$n \ge 2$ より $n-1 \ne 0$ であるから、両辺を $n-1$ で割ると、

$(n+1) a_n = (n-1) a_{n-1}$

したがって、$a_n = \frac{n-1}{n+1} a_{n-1}$ ( $n \ge 2$ )

(2) まず、$a_n$ を $n$ の式で表す。

$a_1 = S_1 = \frac{1}{2}$ である。

$a_n = \frac{n-1}{n+1} a_{n-1}$ を繰り返し用いると、

$a_2 = \frac{2-1}{2+1} a_1 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$

$a_3 = \frac{3-1}{3+1} a_2 = \frac{2}{4} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$

$a_4 = \frac{4-1}{4+1} a_3 = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{12} = \frac{1}{20}$

より、$a_n = \frac{1}{n(n+1)}$ と推測できる。

数学的帰納法で証明する。

(i) $n=1$ のとき、$a_1 = \frac{1}{1(1+1)} = \frac{1}{2}$ であり、成立する。

(ii) $n=k$ のとき、$a_k = \frac{1}{k(k+1)}$ が成立すると仮定する。

$a_{k+1} = \frac{k}{k+2} a_k = \frac{k}{k+2} \cdot \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{(k+1)(k+2)}$

よって、$n=k+1$ のときも成立する。

したがって、すべての $n$ に対して、$a_n = \frac{1}{n(n+1)}$ が成立する。

次に、$S_n$ を求める。

$S_n = n^2 a_n = n^2 \cdot \frac{1}{n(n+1)} = \frac{n}{n+1}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = \frac{n-1}{n+1} a_{n-1}$ ( $n \ge 2$ )

(2) $a_n = \frac{1}{n(n+1)}$ , $S_n = \frac{n}{n+1}$