以下の定積分を計算する問題です。 $\int_{-1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} dx$

1. 問題の内容

以下の定積分を計算する問題です。

$\int_{-1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} dx$

2. 解き方の手順

$\frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}$ の積分は $\arcsin(\frac{x}{a})$ で表されることを利用します。

与えられた積分は、

$\int_{-1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} dx = \int_{-1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{2^2-x^2}} dx$

ここで、$a=2$なので、積分は $\arcsin(\frac{x}{2})$ となります。したがって、

$\int_{-1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} dx = [\arcsin(\frac{x}{2})]_{-1}^{\sqrt{3}}$

$=\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) - \arcsin(\frac{-1}{2})$

$=\frac{\pi}{3} - (-\frac{\pi}{6})$

$=\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}$

$=\frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6}$

$=\frac{3\pi}{6}$

$=\frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{2}$