与えられた問題は、平方根を含む分数の計算です。具体的には、(12) $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{84}}$、(13) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{54}}$、(14) $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{96}}$、(15) $\frac{\sqrt{28}}{\sqrt{80}}$ の4つの問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた問題は、平方根を含む分数の計算です。具体的には、(12) $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{84}}$、(13) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{54}}$、(14) $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{96}}$、(15) $\frac{\sqrt{28}}{\sqrt{80}}$ の4つの問題を解きます。

2. 解き方の手順

(12) $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{84}}$：

まず、$\sqrt{84}$ を $\sqrt{7 \times 12} = \sqrt{7} \times \sqrt{12}$ と変形します。

すると、$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{84}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} \times \sqrt{12}} = \frac{1}{\sqrt{12}}$ となります。

$\sqrt{12}$ は $\sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$ と変形できるので、

$\frac{1}{\sqrt{12}} = \frac{1}{2\sqrt{3}}$となります。

分母を有理化するために、分子と分母に $\sqrt{3}$ をかけます。

$\frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2 \times 3} = \frac{\sqrt{3}}{6}$ となります。

(13) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{54}}$：

まず、$\sqrt{54}$ を $\sqrt{3 \times 18} = \sqrt{3} \times \sqrt{18}$ と変形します。

すると、$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{54}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{18}} = \frac{1}{\sqrt{18}}$ となります。

$\sqrt{18}$ は $\sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$ と変形できるので、

$\frac{1}{\sqrt{18}} = \frac{1}{3\sqrt{2}}$となります。

分母を有理化するために、分子と分母に $\sqrt{2}$ をかけます。

$\frac{1}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{3 \times 2} = \frac{\sqrt{2}}{6}$ となります。

(14) $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{96}}$：

まず、$\sqrt{12}$ を $2\sqrt{3}$と変形します。

$\sqrt{96} = \sqrt{16 \times 6} = 4\sqrt{6}$ と変形します。

$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{96}} = \frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{6}}$ となります。

$\sqrt{6} = \sqrt{2} \times \sqrt{3}$ なので, $\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2} \sqrt{3}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$ となります。

分母を有理化するために、分子と分母に $\sqrt{2}$ をかけます。

$\frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2 \times 2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$ となります。

(15) $\frac{\sqrt{28}}{\sqrt{80}}$：

$\sqrt{28} = \sqrt{4 \times 7} = 2\sqrt{7}$ と変形します。

$\sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = 4\sqrt{5}$ と変形します。

$\frac{\sqrt{28}}{\sqrt{80}} = \frac{2\sqrt{7}}{4\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{5}}$ となります。

分母を有理化するために、分子と分母に $\sqrt{5}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{2\sqrt{5}\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{35}}{2 \times 5} = \frac{\sqrt{35}}{10}$ となります。

3. 最終的な答え

(12) $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{84}} = \frac{1}{\sqrt{12}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$

(13) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{54}} = \frac{1}{\sqrt{18}} = \frac{1}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{6}$

(14) $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{96}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

(15) $\frac{\sqrt{28}}{\sqrt{80}} = \frac{\sqrt{35}}{10}$