与えられた数 $\sqrt[6]{243}$, $\sqrt[3]{81}$, $3$ の大小関係を不等号を用いて表します。

1. 問題の内容

与えられた数 $\sqrt[6]{243}$, $\sqrt[3]{81}$, $3$ の大小関係を不等号を用いて表します。

2. 解き方の手順

まず、すべての数を同じ累乗根の形に変換します。最小公倍数を利用すると、6乗根に変換するのが適切です。

* $\sqrt[6]{243}$ はすでに6乗根の形です。

$243 = 3^5$ であるから、$\sqrt[6]{243} = \sqrt[6]{3^5}$

* $\sqrt[3]{81}$ を6乗根に変換します。

$\sqrt[3]{81} = \sqrt[3]{3^4}$

$\sqrt[3]{3^4} = \sqrt[6]{(3^4)^2} = \sqrt[6]{3^8}$

* $3$ を6乗根に変換します。

$3 = \sqrt[6]{3^6}$

したがって、元の問題は $\sqrt[6]{3^5}$, $\sqrt[6]{3^8}$, $\sqrt[6]{3^6}$ の大小を比較することと同じです。

累乗根の中身の大小を比較すると、$3^5=243$, $3^6=729$, $3^8=6561$ より、$3^5 < 3^6 < 3^8$となります。

従って、$\sqrt[6]{3^5} < \sqrt[6]{3^6} < \sqrt[6]{3^8}$ となります。

これを元の数に戻すと、

$\sqrt[6]{243} < 3 < \sqrt[3]{81}$

3. 最終的な答え

$\sqrt[6]{243} < 3 < \sqrt[3]{81}$