灰色と白色のタイルを使って正方形を作る。n番目の正方形の一辺にはn個のタイルが並んでいる。灰色のタイルが221個であるとき、何番目の正方形か。

1. 問題の内容

灰色と白色のタイルを使って正方形を作る。n番目の正方形の一辺にはn個のタイルが並んでいる。灰色のタイルが221個であるとき、何番目の正方形か。

2. 解き方の手順

まず、偶数番目（2k番目）と奇数番目（2k-1番目）で場合分けして考える。

* 偶数番目(2k番目)の場合、正方形のタイル全体の数は$(2k)^2 = 4k^2$個である。灰色と白色のタイルは同数なので、灰色のタイルの数は$\frac{4k^2}{2} = 2k^2$個である。

* 奇数番目(2k-1番目)の場合、正方形のタイル全体の数は$(2k-1)^2 = 4k^2 - 4k + 1$個である。灰色のタイルは白色のタイルより1個多いので、灰色のタイルの数は$\frac{(4k^2 - 4k + 1) + 1}{2} = 2k^2 - 2k + 1$個である。

灰色のタイルが221個であることから、

* 偶数番目の場合、$2k^2 = 221$

* 奇数番目の場合、$2k^2 - 2k + 1 = 221$

$2k^2 = 221$ は、kが自然数にならないので不適である。

$2k^2 - 2k + 1 = 221$ を解くと、

$2k^2 - 2k - 220 = 0$

$k^2 - k - 110 = 0$

$(k - 11)(k + 10) = 0$

$k = 11$ または $k = -10$

kは自然数なので、$k = 11$。

よって、2k-1番目の正方形、すなわち$2 \times 11 - 1 = 21$番目の正方形である。

3. 最終的な答え

21番目