灰色と白色の正六角形のタイルを使い、ある規則に従って図形を作っていく。 灰色のタイルと白色のタイルの枚数を表にまとめたとき、表の空欄を埋め、白色のタイルが灰色のタイルより17枚多くなるのは何番目の図形か、白色のタイルが201枚のときに作れる最大の図形は何番目かを求める。

1. 問題の内容

灰色と白色の正六角形のタイルを使い、ある規則に従って図形を作っていく。

灰色のタイルと白色のタイルの枚数を表にまとめたとき、表の空欄を埋め、白色のタイルが灰色のタイルより17枚多くなるのは何番目の図形か、白色のタイルが201枚のときに作れる最大の図形は何番目かを求める。

2. 解き方の手順

(1) 表の空欄を埋める。

* 灰色のタイルの枚数は、1番目から順に1, 2, 3, ...と増えているため、等差数列である。したがって、5番目は5枚、18番目は18枚。

* 白色のタイルの枚数も、1番目から順に6, 8, 10, ...と増えているため、等差数列である。公差は2。したがって、n番目の白色のタイル数は $6 + 2(n-1) = 2n + 4$。

* 5番目の白色のタイルの枚数は $2 \times 5 + 4 = 14$。ア=14

* 18番目の白色のタイルの枚数は $2 \times 18 + 4 = 40$。イ=40

(2) 白色のタイルの枚数が灰色のタイルの枚数より17枚多くなるのは何番目かを求める。

* n番目の図形において、灰色のタイルはn枚、白色のタイルは$2n + 4$枚。

* $2n + 4 = n + 17$という式が成り立つnを求める。

* $2n - n = 17 - 4$

* $n = 13$

(3) 白色のタイルが201枚のときにつくることができる図形のなかで、最も大きな図形をn番目の図形とするとき、nの値を求める。

* n番目の図形における白色タイルの枚数は、$2n + 4$。これが201枚以下となる最大のnを求める。

* $2n + 4 \le 201$

* $2n \le 197$

* $n \le \frac{197}{2} = 98.5$

* nは自然数なので、$n = 98$

3. 最終的な答え

(1) ア=14, イ=40

(2) 13番目

(3) n=98