正方形ABCDがあり、辺ABと辺DCをそれぞれ半径とする2つの円が描かれている。2つの円の交点をPとし、直線PBと円の交点をQ、直線PCと円の交点をRとする。 (1) 角xの大きさを求める。 (2) 三角形PQRの面積を求める。

1. 問題の内容

正方形ABCDがあり、辺ABと辺DCをそれぞれ半径とする2つの円が描かれている。2つの円の交点をPとし、直線PBと円の交点をQ、直線PCと円の交点をRとする。

(1) 角xの大きさを求める。

(2) 三角形PQRの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 角xの大きさ

正方形の一辺の長さは12cmであるから、円の半径は6cm。

三角形PABと三角形PCDは合同な二等辺三角形。

∠PAB = ∠PBA, ∠PDC = ∠PCD

∠APB = ∠DPC

∠APB + ∠APD + ∠DPC = 360°

∠APD = 90°

2∠APB + 90° = 360°

2∠APB = 270°

∠APB = 135°

∠PAB = (180° - 135°) / 2 = 45° / 2 = 22.5°

∠ABC = 90°

∠x = ∠ABC - ∠PBA = 90° - 22.5° = 67.5°

PB = PA = 6$\sqrt{2}$

QB = 6$\sqrt{2}$ - 6

三角形QBCにおいて、

$tan(\angle x) = \frac{QC}{BC} = \frac{QC}{12}$

$PB = PC$, $∠PBC = ∠PCB$

$∠ABP = ∠DCP$

$AQ = PB - PA = 6\sqrt{2}-6$

$PB = QB+PQ = 6\sqrt{2} \implies PQ = 6$

$PQ = PR = 6$

よって、三角形PQRは二等辺三角形

また∠QPR = 45度

$x = \frac{90 -45}{2} = 22.5$

$x = 15^{\circ}$

(2) 三角形PQRの面積

三角形PQRは二等辺三角形であり、PQ=PR=6cm、∠QPR=45°。

三角形の面積は、$\frac{1}{2} \times PQ \times PR \times \sin(\angle QPR)$で求められる。

$\frac{1}{2} \times 6 \times 6 \times \sin(45^{\circ})$

$\frac{1}{2} \times 36 \times \frac{\sqrt{2}}{2}$

$9\sqrt{2}$

$\sqrt{2} \approx 1.414$

$9 \times 1.414 = 12.726 \approx 13$

三角形PQRの面積は$13cm^2$

3. 最終的な答え

(1) 15度

(2) 13

ア: 1

イ: 3