半径1の円に $AB = BC$ の二等辺三角形 $ABC$ が内接している。$\angle BAC = 2\theta$ とするとき、三角形 $ABC$ の周の長さ $M$ を $\theta$ の式で表す。

1. 問題の内容

半径1の円に $AB = BC$ の二等辺三角形 $ABC$ が内接している。$\angle BAC = 2\theta$ とするとき、三角形 $ABC$ の周の長さ $M$ を $\theta$ の式で表す。

2. 解き方の手順

まず、$\angle BAC = 2\theta$ より、$\angle BCA = 2\theta$ である。なぜなら三角形 $ABC$ は $AB = BC$ の二等辺三角形だからである。

三角形の内角の和は $180^\circ$ であるから、

$\angle ABC = 180^\circ - \angle BAC - \angle BCA = 180^\circ - 2\theta - 2\theta = 180^\circ - 4\theta$ となる。

正弦定理より、

$\frac{AC}{\sin{\angle ABC}} = \frac{AB}{\sin{\angle BCA}} = \frac{BC}{\sin{\angle BAC}} = 2R$

ここで、$R$ は外接円の半径であり、$R = 1$ である。

よって、$2R = 2$ である。

$AC = 2\sin{\angle ABC} = 2\sin{(180^\circ - 4\theta)} = 2\sin{4\theta}$

$AB = BC = 2\sin{\angle BCA} = 2\sin{2\theta}$

したがって、三角形 $ABC$ の周の長さ $M$ は、

$M = AB + BC + AC = 2\sin{2\theta} + 2\sin{2\theta} + 2\sin{4\theta} = 4\sin{2\theta} + 2\sin{4\theta}$

$\sin{4\theta} = 2\sin{2\theta}\cos{2\theta}$

$M = 4\sin{2\theta} + 4\sin{2\theta}\cos{2\theta} = 4\sin{2\theta}(1 + \cos{2\theta})$

3. 最終的な答え

$M = 4\sin{2\theta} + 2\sin{4\theta} = 4\sin{2\theta}(1 + \cos{2\theta})$