## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

問題111は、円 $C: x^2 + y^2 - 10x - 10y + 40 = 0$ に関する問題です。

(1) 円Cの半径を求める。

(2) 原点を通り、円Cに接する直線の方程式を2つ求める。

(3) 上記で求めた2つの直線と円Cのすべてに接するような円のうち、最も小さい円の半径を求める。

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2. 解き方の手順

**(1) 円Cの半径を求める**

円Cの方程式を標準形に変形します。

$x^2 - 10x + y^2 - 10y + 40 = 0$

$(x^2 - 10x + 25) + (y^2 - 10y + 25) + 40 - 25 - 25 = 0$

$(x - 5)^2 + (y - 5)^2 = 10$

したがって、円Cの中心は(5, 5)であり、半径は$\sqrt{10}$です。

**(2) 原点を通り、円Cに接する直線の方程式を求める**

原点を通る直線の式を $y = kx$ と置きます。

この直線が円Cに接するためには、円の中心(5, 5)と直線 $kx - y = 0$ との距離が円の半径$\sqrt{10}$に等しくなる必要があります。

点と直線の距離の公式より、

$\frac{|5k - 5|}{\sqrt{k^2 + 1}} = \sqrt{10}$

両辺を2乗して、

$\frac{(5k - 5)^2}{k^2 + 1} = 10$

$(5k - 5)^2 = 10(k^2 + 1)$

$25k^2 - 50k + 25 = 10k^2 + 10$

$15k^2 - 50k + 15 = 0$

$3k^2 - 10k + 3 = 0$

$(3k - 1)(k - 3) = 0$

$k = \frac{1}{3}, 3$

よって、原点を通り円Cに接する直線の方程式は $y = \frac{1}{3}x$ と $y = 3x$ です。

**(3) 2つの直線と円Cのすべてに接する円のうち、最も小さい円の半径を求める**

2つの直線 $y = \frac{1}{3}x$ と $y = 3x$ のなす角の二等分線は、円Cの中心(5, 5)を通ります。

この円は、2つの直線に接しているので、中心は2直線のなす角の二等分線上にあります。

また、円Cにも接するので、円Cの内側にある必要があります。

求める円は円Cに内接し、かつ２つの直線に接することから、その半径が最も小さくなるのは円Cの中心と２直線の交点の距離が最短となるときです。

2つの直線 $y = \frac{1}{3}x$ と $y = 3x$ の交点は原点(0,0)です。

2つの直線のなす角の二等分線は、直線 $y=x$ となります。

求める円の中心は直線 $y=x$ 上にあり、$(t, t)$ と表せます。

この円は直線 $y = \frac{1}{3}x$ に接するので、中心と直線の距離は半径に等しく、

$\frac{|t - 3t|}{\sqrt{1+9}} = \frac{2t}{\sqrt{10}} = r$

また、求める円は円Cに内接するので、円の中心間の距離は半径の差に等しく、

$\sqrt{(t - 5)^2 + (t - 5)^2} = \sqrt{2}(5-t) = \sqrt{10} - r$

$\sqrt{2}(5-t) = \sqrt{10} - \frac{2t}{\sqrt{10}}$

$5\sqrt{2}-\sqrt{2}t = \sqrt{10} - \frac{2t}{\sqrt{10}}$

$5\sqrt{2} - \sqrt{10} = \sqrt{2}t - \frac{2t}{\sqrt{10}}$

$5\sqrt{2} - \sqrt{10} = (\sqrt{2} - \frac{2}{\sqrt{10}})t$

$t = \frac{5\sqrt{2} - \sqrt{10}}{\sqrt{2} - \frac{2}{\sqrt{10}}} = \frac{5\sqrt{2} - \sqrt{10}}{\frac{10 - 2}{\sqrt{10}}} = \frac{(5\sqrt{2} - \sqrt{10})\sqrt{10}}{8} = \frac{5\sqrt{20} - 10}{8} = \frac{10\sqrt{5}-10}{8} = \frac{5\sqrt{5}-5}{4}$

よって、求める円の半径は

$r = \frac{2t}{\sqrt{10}} = \frac{2 \frac{5\sqrt{5}-5}{4}}{\sqrt{10}} = \frac{5\sqrt{5}-5}{2\sqrt{10}} = \frac{(5\sqrt{5}-5)\sqrt{10}}{20} = \frac{5\sqrt{50}-5\sqrt{10}}{20} = \frac{25\sqrt{2} - 5\sqrt{10}}{20} = \frac{5\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{10}}{4}$

円Cに内接する円の半径は$\sqrt{10}-r$であるはずです。

最も小さい円は、円Cに内接し、かつ2つの直線に接する円です。

この円の中心は、2つの直線のなす角の二等分線上にあります。

2つの直線のなす角の二等分線は、y=xです。

円Cの中心(5,5)から、2直線の交点(0,0)までの距離は$\sqrt{50} = 5\sqrt{2}=\sqrt{50}$です。

求める円の半径をrとすると、円Cの半径は$\sqrt{10}$なので、

$5\sqrt{2} + r = \sqrt{10} + r$　または $5\sqrt{2} - r = \sqrt{10} - r$ となりません。

2つの直線に接する円の中心と原点との距離をLとすると、$L= \sqrt{2}r$

円Cの中心と求める円の中心の距離は、半径の差に等しい。$|\sqrt{10}-r|=\sqrt{(5-r)^2+(5-r)^2} = r\sqrt{2}$, $5 - \frac{1}{\sqrt{2}}r$

すると　半径は $5-5/\sqrt2$

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3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{10}$

(2) $y = \frac{1}{3}x, y = 3x$

(3) $5\sqrt{2}-5$