直方体ABCD-EFGHにおいて、$AB = \sqrt{3}$, $BC = BF = 1$ とする。 (1) $\cos{\angle AFC}$ と $\triangle AFC$ の面積 $S$ を求めよ。 (2) 四面体AFCBの体積 $V$ と、頂点Bから対面の$\triangle AFC$に下ろした垂線BPの長さを求めよ。

1. 問題の内容

直方体ABCD-EFGHにおいて、$AB = \sqrt{3}$, $BC = BF = 1$ とする。

(1) $\cos{\angle AFC}$ と $\triangle AFC$ の面積 $S$ を求めよ。

(2) 四面体AFCBの体積 $V$ と、頂点Bから対面の$\triangle AFC$に下ろした垂線BPの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\triangle AFC$ の各辺の長さを求める。

$AF = \sqrt{AB^2 + BF^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$

$CF = \sqrt{BC^2 + BF^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$

余弦定理より、

$\cos{\angle AFC} = \frac{AF^2 + CF^2 - AC^2}{2 \cdot AF \cdot CF} = \frac{2^2 + (\sqrt{2})^2 - 2^2}{2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2}} = \frac{4 + 2 - 4}{4\sqrt{2}} = \frac{2}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

次に、$\triangle AFC$ の面積 $S$ を求める。

$\sin^2{\angle AFC} = 1 - \cos^2{\angle AFC} = 1 - (\frac{\sqrt{2}}{4})^2 = 1 - \frac{2}{16} = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$

$\sin{\angle AFC} = \sqrt{\frac{7}{8}} = \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}}{4}$

$S = \frac{1}{2} \cdot AF \cdot CF \cdot \sin{\angle AFC} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{14}}{4} = \frac{2\sqrt{28}}{8} = \frac{\sqrt{28}}{4} = \frac{2\sqrt{7}}{4} = \frac{\sqrt{7}}{2}$

(2)

四面体AFCBの体積 $V$ を求める。

四面体AFCBは、三角錐と考えることができ、底面を $\triangle ABC$ 、高さを $BF$ とすれば、

$V = \frac{1}{3} \cdot (\triangle ABCの面積) \cdot BF = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC) \cdot BF = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot 1) \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{6}$

頂点Bから対面の$\triangle AFC$に下ろした垂線BPの長さを求める。

四面体AFCBの体積 $V$ は、底面を $\triangle AFC$ 、高さを $BP$ としても求められる。

$V = \frac{1}{3} \cdot (\triangle AFCの面積) \cdot BP$

$\frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{7}}{2} \cdot BP$

$BP = \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot \frac{6}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos{\angle AFC} = \frac{\sqrt{2}}{4}$, $\triangle AFC$の面積 $S = \frac{\sqrt{7}}{2}$

(2) 四面体AFCBの体積 $V = \frac{\sqrt{3}}{6}$, 垂線BPの長さ $BP = \frac{\sqrt{21}}{7}$