以下の変換を表す行列を求める問題です。 (1) 平面上で点を $x$ 軸に対称な点に移す。 (2) 平面上で点を $y$ 軸に対称な点に移す。 (3) 平面上で点を原点に対称な点に移す。 (4) 平面上で点を直線 $y = -x$ に対称な点に移す。 (5) 平面上で点を原点のまわりに $90^\circ$ 回転させる。 (6) 空間内で点を $z$ 軸のまわりに $45^\circ$ 回転させる。 (7) 空間内で点を $y$ 軸のまわりに $60^\circ$ 回転させる。

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

以下の変換を表す行列を求める問題です。

(1) 平面上で点を $x$ 軸に対称な点に移す。

(2) 平面上で点を $y$ 軸に対称な点に移す。

(3) 平面上で点を原点に対称な点に移す。

(4) 平面上で点を直線 $y = -x$ に対称な点に移す。

(5) 平面上で点を原点のまわりに $90^\circ$ 回転させる。

(6) 空間内で点を $z$ 軸のまわりに $45^\circ$ 回転させる。

(7) 空間内で点を $y$ 軸のまわりに $60^\circ$ 回転させる。

2. 解き方の手順

変換行列は、基本ベクトル（(1, 0) や (0, 1), あるいは (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)）が変換によってどのように移るかを考え、それを列ベクトルとして並べることで求められます。

(1) $x$ 軸対称：

$(1, 0) \rightarrow (1, 0)$

$(0, 1) \rightarrow (0, -1)$

したがって、変換行列は

$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

(2) $y$ 軸対称：

$(1, 0) \rightarrow (-1, 0)$

$(0, 1) \rightarrow (0, 1)$

したがって、変換行列は

$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

(3) 原点対称：

$(1, 0) \rightarrow (-1, 0)$

$(0, 1) \rightarrow (0, -1)$

したがって、変換行列は

$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

(4) 直線 $y = -x$ に関する対称：

$(1, 0) \rightarrow (0, -1)$

$(0, 1) \rightarrow (-1, 0)$

したがって、変換行列は

$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

(5) 原点周りの $90^\circ$ 回転：

$(1, 0) \rightarrow (0, 1)$

$(0, 1) \rightarrow (-1, 0)$

したがって、変換行列は

$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

(6) $z$ 軸周りの $45^\circ$ 回転：

$(1, 0, 0) \rightarrow (\cos 45^\circ, \sin 45^\circ, 0) = (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$

$(0, 1, 0) \rightarrow (-\sin 45^\circ, \cos 45^\circ, 0) = (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$

$(0, 0, 1) \rightarrow (0, 0, 1)$

したがって、変換行列は

$\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

(7) $y$ 軸周りの $60^\circ$ 回転：

$(1, 0, 0) \rightarrow (\cos 60^\circ, 0, -\sin 60^\circ) = (\frac{1}{2}, 0, -\frac{\sqrt{3}}{2})$

$(0, 1, 0) \rightarrow (0, 1, 0)$

$(0, 0, 1) \rightarrow (\sin 60^\circ, 0, \cos 60^\circ) = (\frac{\sqrt{3}}{2}, 0, \frac{1}{2})$

したがって、変換行列は

$\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

(4) $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

(5) $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

(6) $\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

(7) $\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$