与えられた直線が、指定された変換によってどのように変化するかを求める問題です。具体的には、以下の6つの問題があります。 (1) 直線 $y = -x + 1$ を $x$ 軸について対称な直線に変換した図形。 (2) 直線 $y = 3x - 2$ を直線 $y = x$ について対称な直線に変換した図形。 (3) 直線 $y = 2x + 1$ を原点について対称な直線に変換した図形。 (4) 直線 $y = x - 1$ を $30^\circ$ 回転移動した図形。 (5) 直線 $y = 3x + 2$ を $y$ 軸について対称な直線に変換した後に、$45^\circ$ 回転移動した図形。 (6) 直線 $y = -2x + 1$ を $60^\circ$ 回転移動した後に、$x$ 軸について対称な直線に変換した図形。

1. 問題の内容

与えられた直線が、指定された変換によってどのように変化するかを求める問題です。具体的には、以下の6つの問題があります。

(1) 直線 $y = -x + 1$ を $x$ 軸について対称な直線に変換した図形。

(2) 直線 $y = 3x - 2$ を直線 $y = x$ について対称な直線に変換した図形。

(3) 直線 $y = 2x + 1$ を原点について対称な直線に変換した図形。

(4) 直線 $y = x - 1$ を $30^\circ$ 回転移動した図形。

(5) 直線 $y = 3x + 2$ を $y$ 軸について対称な直線に変換した後に、$45^\circ$ 回転移動した図形。

(6) 直線 $y = -2x + 1$ を $60^\circ$ 回転移動した後に、$x$ 軸について対称な直線に変換した図形。

2. 解き方の手順

(1) $x$ 軸に関する対称移動：$y$ を $-y$ に置き換えます。

$y = -x + 1$ を $-y = -x + 1$ とし、$y = x - 1$ を得ます。

(2) 直線 $y = x$ に関する対称移動：$x$ と $y$ を入れ替えます。

$y = 3x - 2$ を $x = 3y - 2$ とし、$3y = x + 2$ から $y = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}$ を得ます。

(3) 原点に関する対称移動：$x$ を $-x$, $y$ を $-y$ に置き換えます。

$y = 2x + 1$ を $-y = 2(-x) + 1$ とし、$-y = -2x + 1$ から $y = 2x - 1$ を得ます。

(4) $30^\circ$ 回転移動：

回転移動の変換式は以下の通りです。

$x' = x \cos \theta - y \sin \theta$

$y' = x \sin \theta + y \cos \theta$

$\theta = 30^\circ$ のとき、$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ です。

したがって、$x' = \frac{\sqrt{3}}{2} x - \frac{1}{2} y$, $y' = \frac{1}{2} x + \frac{\sqrt{3}}{2} y$ となります。

これを $x, y$ について解くと、$x = \frac{\sqrt{3}}{2} x' + \frac{1}{2} y'$, $y = -\frac{1}{2} x' + \frac{\sqrt{3}}{2} y'$

$y = x - 1$ に代入して、$-\frac{1}{2} x' + \frac{\sqrt{3}}{2} y' = \frac{\sqrt{3}}{2} x' + \frac{1}{2} y' - 1$

$(\sqrt{3}-1) y' = (\sqrt{3}+1) x' - 2$

$y' = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} x' - \frac{2}{\sqrt{3}-1} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{2} x' - \frac{2(\sqrt{3}+1)}{2} = (2+\sqrt{3})x' - (\sqrt{3}+1)$

よって、 $y = (2+\sqrt{3})x - (\sqrt{3}+1)$

(5) $y$ 軸に関する対称移動後、$45^\circ$ 回転移動

$y$軸に関して対称移動: $x$ を $-x$ に置き換えます。$y = 3x + 2$ から $y = -3x + 2$ を得ます。

次に、45度回転します。

$x' = x \cos 45^\circ - y \sin 45^\circ$

$y' = x \sin 45^\circ + y \cos 45^\circ$

$\cos 45^\circ = \sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$x = \frac{1}{\sqrt{2}} (x' + y')$, $y = \frac{1}{\sqrt{2}} (-x' + y')$

$y = -3x + 2$ に代入して、$\frac{1}{\sqrt{2}} (-x' + y') = -3 \frac{1}{\sqrt{2}} (x' + y') + 2$

$-x' + y' = -3(x' + y') + 2\sqrt{2}$

$4y' = -2x' + 2\sqrt{2}$

$y' = -\frac{1}{2} x' + \frac{\sqrt{2}}{2}$

よって、 $y = -\frac{1}{2} x + \frac{\sqrt{2}}{2}$

(6) $60^\circ$ 回転移動後、$x$ 軸に関して対称移動

$y = -2x + 1$ を 60度回転する。

$x' = x \cos 60^\circ - y \sin 60^\circ$

$y' = x \sin 60^\circ + y \cos 60^\circ$

$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$x = \frac{1}{2}x' + \frac{\sqrt{3}}{2}y'$, $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}x' + \frac{1}{2}y'$

$y = -2x + 1$ に代入して、$-\frac{\sqrt{3}}{2}x' + \frac{1}{2}y' = -2(\frac{1}{2}x' + \frac{\sqrt{3}}{2}y') + 1$

$-\sqrt{3}x' + y' = -2x' - 2\sqrt{3}y' + 2$

$(1+2\sqrt{3})y' = (\sqrt{3}-2)x' + 2$

$y' = \frac{\sqrt{3}-2}{1+2\sqrt{3}}x' + \frac{2}{1+2\sqrt{3}}$

次に、x軸に関して対称移動するので、$y'$を$-y'$に置き換える。

$-y' = \frac{\sqrt{3}-2}{1+2\sqrt{3}}x' + \frac{2}{1+2\sqrt{3}}$

$y' = \frac{2-\sqrt{3}}{1+2\sqrt{3}}x' - \frac{2}{1+2\sqrt{3}}$

$y = \frac{(2-\sqrt{3})(1-2\sqrt{3})}{(1+2\sqrt{3})(1-2\sqrt{3})} x - \frac{2(1-2\sqrt{3})}{(1+2\sqrt{3})(1-2\sqrt{3})} = \frac{2 - \sqrt{3} - 4\sqrt{3} + 6}{1-12}x - \frac{2-4\sqrt{3}}{1-12}$

$y = \frac{8-5\sqrt{3}}{-11} x - \frac{2-4\sqrt{3}}{-11}$

$y = \frac{5\sqrt{3}-8}{11} x + \frac{2-4\sqrt{3}}{11}$

3. 最終的な答え

(1) $y = x - 1$

(2) $y = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}$

(3) $y = 2x - 1$

(4) $y = (2+\sqrt{3})x - (\sqrt{3}+1)$

(5) $y = -\frac{1}{2} x + \frac{\sqrt{2}}{2}$

(6) $y = \frac{5\sqrt{3}-8}{11} x + \frac{2-4\sqrt{3}}{11}$