(1) 点 A($a_1, a_2$)、B($b_1, b_2$) が与えられたとき、ベクトル$\overrightarrow{AB}$ の成分表示を求める。 (2) 点 A($a_1, a_2$)、B($b_1, b_2$)、C($c_1, c_2$) が与えられたとき、三角形 ABC の重心 G の座標を求める。 (3) ベクトル $\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ の長さを求め、同じ向きで長さが 1 のベクトルを求める。 (4) 点 P(1, 1) からベクトル $\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ の向きに距離 3 だけ進んだ点の座標を求める。 (5) ベクトル $\vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$、$\vec{y} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、(a) $2\vec{x} + 3\vec{y}$、(b) $\vec{x} - \vec{y}$、(c) $-3\vec{x} + 2\vec{y}$ を計算する。 (6) ベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$、$\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、ベクトル $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ を $\alpha\vec{a} + \beta\vec{b}$ の形で表す。

はい、承知いたしました。問題1-2の(1)から(6)までを解きます。

1. 問題の内容

(1) 点 A($a_1, a_2$)、B($b_1, b_2$) が与えられたとき、ベクトル$\overrightarrow{AB}$ の成分表示を求める。

(2) 点 A($a_1, a_2$)、B($b_1, b_2$)、C($c_1, c_2$) が与えられたとき、三角形 ABC の重心 G の座標を求める。

(3) ベクトル $\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ の長さを求め、同じ向きで長さが 1 のベクトルを求める。

(4) 点 P(1, 1) からベクトル $\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ の向きに距離 3 だけ進んだ点の座標を求める。

(5) ベクトル $\vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$、$\vec{y} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、(a) $2\vec{x} + 3\vec{y}$、(b) $\vec{x} - \vec{y}$、(c) $-3\vec{x} + 2\vec{y}$ を計算する。

(6) ベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$、$\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、ベクトル $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ を $\alpha\vec{a} + \beta\vec{b}$ の形で表す。

2. 解き方の手順

(1)

$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} b_1 - a_1 \\ b_2 - a_2 \end{pmatrix}$

(2)

重心 G の座標は、各頂点の座標の平均であるため、

$G = \left(\frac{a_1 + b_1 + c_1}{3}, \frac{a_2 + b_2 + c_2}{3}\right)$

(3)

ベクトルの長さは、

$\left\| \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \right\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

同じ向きで長さが 1 のベクトルは、元のベクトルをその長さで割ればよいので、

$\frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3/5 \\ 4/5 \end{pmatrix}$

(4)

ベクトル $\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ の単位ベクトルは $\frac{1}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}}\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$。

距離 3 だけ進んだベクトルは $3 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3/\sqrt{5} \\ -6/\sqrt{5} \end{pmatrix}$。

したがって、求める点の座標は $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3/\sqrt{5} \\ -6/\sqrt{5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 3/\sqrt{5} \\ 1 - 6/\sqrt{5} \end{pmatrix}$

(5)

(a) $2\vec{x} + 3\vec{y} = 2\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} + 3\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \end{pmatrix}$

(b) $\vec{x} - \vec{y} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - (-1) \\ 2 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$

(c) $-3\vec{x} + 2\vec{y} = -3\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9 \\ -6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -11 \\ -4 \end{pmatrix}$

(6)

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \alpha\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \beta\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\alpha + \beta \\ \alpha + \beta \end{pmatrix}$

連立方程式

$2\alpha + \beta = x$

$\alpha + \beta = y$

を解くと、$\alpha = x - y$、$\beta = y - \alpha = y - (x - y) = 2y - x$

したがって、$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = (x - y)\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + (2y - x)\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} b_1 - a_1 \\ b_2 - a_2 \end{pmatrix}$

(2) $G = \left(\frac{a_1 + b_1 + c_1}{3}, \frac{a_2 + b_2 + c_2}{3}\right)$

(3) 長さ: 5, 同じ向きで長さ 1 のベクトル: $\begin{pmatrix} 3/5 \\ 4/5 \end{pmatrix}$

(4) $\begin{pmatrix} 1 + 3/\sqrt{5} \\ 1 - 6/\sqrt{5} \end{pmatrix}$

(5) (a) $\begin{pmatrix} 3 \\ 7 \end{pmatrix}$, (b) $\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$, (c) $\begin{pmatrix} -11 \\ -4 \end{pmatrix}$

(6) $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = (x - y)\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + (2y - x)\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$