xy平面上の次の直線のベクトル表示を求める問題です。 (1) $y = -3x + 1$ (2) $y = x + 1$ と直交し、点 $(2, 1)$ を通る直線 (3) x軸とのなす角が $60^\circ$ で、点 $(0, 2)$ を通る直線

## 問題 3-2

1. 問題の内容

xy平面上の次の直線のベクトル表示を求める問題です。

(1) $y = -3x + 1$

(2) $y = x + 1$ と直交し、点 $(2, 1)$ を通る直線

(3) x軸とのなす角が $60^\circ$ で、点 $(0, 2)$ を通る直線

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y = -3x + 1$ を変形して、$3x + y - 1 = 0$ とします。この直線の方向ベクトルは、例えば $\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix}$ です。また、直線上の点は $(0, 1)$ を通ります。したがって、ベクトル表示は次のようになります。

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix}$

(2)

$y = x + 1$ と直交する直線の傾きは $-1$ です。したがって、求める直線の傾きは $-1$ の逆数の負で $m = -1 / (-1) = 1$　傾きが $-1$ です。 また、点 $(2, 1)$ を通るので、直線の式は $y - 1 = -1(x - 2)$ となり、$y = -x + 3$ です。方向ベクトルは $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ であり、点 $(2, 1)$ を通るので、ベクトル表示は次のようになります。

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

(3)

x軸とのなす角が $60^\circ$ であるので、傾きは $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$ です。また、点 $(0, 2)$ を通るので、直線の式は $y = \sqrt{3}x + 2$ です。方向ベクトルは $\begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{3} \end{pmatrix}$ であり、点 $(0, 2)$ を通るので、ベクトル表示は次のようになります。

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{3} \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{3} \end{pmatrix}$

## 問題 3-3

1. 問題の内容

次の直線のベクトル方程式を $ax + by + c = 0$ の形で答える問題です。

(1) $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1)

$x = -1 + 2t$ と $y = t$ です。 $t = y$ を $x = -1 + 2t$ に代入すると、$x = -1 + 2y$ となります。整理すると、$x - 2y + 1 = 0$ です。

(2)

$x = 4 + 3t$ と $y = 1 + 2t$ です。$2x = 8 + 6t$、$3y = 3 + 6t$ となります。$2x - 3y = 8 - 3 = 5$ となります。整理すると、$2x - 3y - 5 = 0$ です。

3. 最終的な答え

(1) $x - 2y + 1 = 0$

(2) $2x - 3y - 5 = 0$

## 問題 3-4

1. 問題の内容

直線 $l: 2x + 3y + 3 = 0$, 点 $A(10, 1)$, $B(-1, 3)$ とする。点Pがl上を動くとき、$k = AP + BP$ が最小となるPの座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

$A$ の直線 $l$ に関する対称点を $A'$ とすると、$AP = A'P$ となるので、$AP + BP = A'P + BP$ となります。$A'P + BP$ が最小となるのは、$A', P, B$ が一直線上にあるときです。

まず、$A$ の直線 $l$ に関する対称点 $A'(x', y')$ を求めます。

線分 $AA'$ の中点は、$(\frac{x' + 10}{2}, \frac{y' + 1}{2})$ となります。この中点は直線 $l$ 上にあるので、$2(\frac{x' + 10}{2}) + 3(\frac{y' + 1}{2}) + 3 = 0$ となります。

$2(x' + 10) + 3(y' + 1) + 6 = 0$

$2x' + 20 + 3y' + 3 + 6 = 0$

$2x' + 3y' + 29 = 0$

また、直線 $AA'$ は直線 $l$ と直交するので、傾きの積は $-1$ です。直線 $l$ の傾きは $-\frac{2}{3}$ なので、直線 $AA'$ の傾きは $\frac{3}{2}$ です。

$\frac{y' - 1}{x' - 10} = \frac{3}{2}$

$2(y' - 1) = 3(x' - 10)$

$2y' - 2 = 3x' - 30$

$3x' - 2y' - 28 = 0$

連立方程式を解きます。

$2x' + 3y' + 29 = 0$

$3x' - 2y' - 28 = 0$

$6x' + 9y' + 87 = 0$

$6x' - 4y' - 56 = 0$

$13y' + 143 = 0$

$y' = -11$

$3x' - 2(-11) - 28 = 0$

$3x' + 22 - 28 = 0$

$3x' - 6 = 0$

$x' = 2$

したがって、$A'(2, -11)$ となります。

直線 $A'B$ の式を求めます。$A'(2, -11), B(-1, 3)$ を通るので、

傾きは $\frac{3 - (-11)}{-1 - 2} = \frac{14}{-3} = -\frac{14}{3}$

$y - 3 = -\frac{14}{3}(x + 1)$

$3y - 9 = -14x - 14$

$14x + 3y + 5 = 0$

$l: 2x + 3y + 3 = 0$ と $14x + 3y + 5 = 0$ の交点を求めます。

$12x + 2 = 0$

$x = -\frac{1}{6}$

$2(-\frac{1}{6}) + 3y + 3 = 0$

$-\frac{1}{3} + 3y + 3 = 0$

$3y = -\frac{8}{3}$

$y = -\frac{8}{9}$

したがって、$P(-\frac{1}{6}, -\frac{8}{9})$

3. 最終的な答え

$P(-\frac{1}{6}, -\frac{8}{9})$