2地点A, Bから用水路を隔てた対岸の2地点C, Dを観測したところ、 $AB = 20m$, $\angle CAB = 90^\circ$, $\angle CBA = 45^\circ$, $\angle DAB = 60^\circ$, $\angle DBA = 75^\circ$ であった。 (1) BDおよびBCの長さ(m)を求めよ。 (2) CDの長さ(m)を求めよ。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

2地点A, Bから用水路を隔てた対岸の2地点C, Dを観測したところ、

$AB = 20m$, $\angle CAB = 90^\circ$, $\angle CBA = 45^\circ$, $\angle DAB = 60^\circ$, $\angle DBA = 75^\circ$ であった。

(1) BDおよびBCの長さ(m)を求めよ。

(2) CDの長さ(m)を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) BDおよびBCの長さを求める。

まず、三角形ABCについて考えます。

$\angle CAB = 90^\circ$、$\angle CBA = 45^\circ$ なので、三角形ABCは直角二等辺三角形です。

したがって、$AC = AB = 20m$。

$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{20^2 + 20^2} = \sqrt{800} = 20\sqrt{2} m$

次に、三角形ABDについて考えます。

$\angle DAB = 60^\circ$, $\angle DBA = 75^\circ$ なので、$\angle ADB = 180^\circ - 60^\circ - 75^\circ = 45^\circ$

正弦定理より、

$\frac{AB}{\sin \angle ADB} = \frac{BD}{\sin \angle DAB}$

$\frac{20}{\sin 45^\circ} = \frac{BD}{\sin 60^\circ}$

$BD = \frac{20 \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{20\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{6} m$

(2) CDの長さを求める。

三角形ABDと三角形ABCから、ADとACを求めます。

三角形ABDにおいて、正弦定理より、

$\frac{AD}{\sin \angle DBA} = \frac{AB}{\sin \angle ADB}$

$AD = \frac{AB \sin \angle DBA}{\sin \angle ADB} = \frac{20 \sin 75^\circ}{\sin 45^\circ}$

$\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

$AD = \frac{20 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{20(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{10(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{\sqrt{2}} = 10(\sqrt{3}+1)$

$AD = 10(\sqrt{3}+1) m$

$AC = 20 m$

$\angle CAD = \angle DAB - \angle CAB = 60^\circ - 90^\circ = -30^\circ$

$\angle CAD$ の絶対値を $\angle CAD = 30^\circ$ とします。

余弦定理より、

$CD^2 = AD^2 + AC^2 - 2 AD \cdot AC \cos \angle CAD$

$CD^2 = (10(\sqrt{3}+1))^2 + 20^2 - 2 \cdot 10(\sqrt{3}+1) \cdot 20 \cos 30^\circ$

$CD^2 = 100(3 + 2\sqrt{3} + 1) + 400 - 400(\sqrt{3}+1) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$CD^2 = 100(4 + 2\sqrt{3}) + 400 - 200(3 + \sqrt{3})$

$CD^2 = 400 + 200\sqrt{3} + 400 - 600 - 200\sqrt{3}$

$CD^2 = 200$

$CD = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} m$

3. 最終的な答え

(1) $BD = 10\sqrt{6} m$ , $BC = 20\sqrt{2} m$

(2) $CD = 10\sqrt{2} m$