$\triangle OAB$ において、辺 $AB$ を $3:4$ に内分する点を $L$、辺 $OB$ の中点を $M$ とする。線分 $OL$ と線分 $AM$ の交点を $P$ とするとき、$AP$ と $PM$ の比を求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、辺 $AB$ を $3:4$ に内分する点を $L$、辺 $OB$ の中点を $M$ とする。線分 $OL$ と線分 $AM$ の交点を $P$ とするとき、$AP$ と $PM$ の比を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{OA} = \vec{a}$、$\vec{OB} = \vec{b}$ とおく。

点 $L$ は辺 $AB$ を $3:4$ に内分するので、

$\vec{OL} = \frac{4\vec{OA} + 3\vec{OB}}{3+4} = \frac{4}{7}\vec{a} + \frac{3}{7}\vec{b}$

点 $M$ は辺 $OB$ の中点なので、

$\vec{OM} = \frac{1}{2}\vec{OB} = \frac{1}{2}\vec{b}$

次に、点 $P$ は線分 $OL$ 上にあるので、実数 $s$ を用いて

$\vec{OP} = s\vec{OL} = s\left(\frac{4}{7}\vec{a} + \frac{3}{7}\vec{b}\right) = \frac{4s}{7}\vec{a} + \frac{3s}{7}\vec{b}$

と表せる。

また、点 $P$ は線分 $AM$ 上にあるので、実数 $t$ を用いて

$\vec{OP} = (1-t)\vec{OA} + t\vec{OM} = (1-t)\vec{a} + t\left(\frac{1}{2}\vec{b}\right) = (1-t)\vec{a} + \frac{t}{2}\vec{b}$

と表せる。

したがって、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は一次独立なので、

$\frac{4s}{7} = 1-t$

$\frac{3s}{7} = \frac{t}{2}$

という連立方程式を得る。

これを解くと、

$t = \frac{6s}{7}$

$\frac{4s}{7} = 1 - \frac{6s}{7}$

$\frac{10s}{7} = 1$

$s = \frac{7}{10}$

したがって、$t = \frac{6}{7} \cdot \frac{7}{10} = \frac{3}{5}$ となる。

$\vec{AP} = \vec{OP} - \vec{OA} = (1-t)\vec{a} + \frac{t}{2}\vec{b} - \vec{a} = -t\vec{a} + \frac{t}{2}\vec{b} = - \frac{3}{5} \vec{a} + \frac{3}{10}\vec{b}$

$\vec{AM} = \vec{OM} - \vec{OA} = \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{a}$

$\vec{AP} = t\vec{AM}$なので、

$\vec{AP} = \frac{3}{5}\vec{AM}$

となる。したがって、$AP:PM = 3:2$ となる。

3. 最終的な答え

$AP:PM = 3:2$