正八面体の各面の重心を結んで内側に作った正六面体の体積が8であるとき、正八面体の1辺の長さを求めよ。

1. 問題の内容

正八面体の各面の重心を結んで内側に作った正六面体の体積が8であるとき、正八面体の1辺の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

正八面体の1辺の長さを$a$とする。

正八面体の各面の重心を結んでできる正六面体の一辺の長さを$x$とする。

$x$を$a$を用いて表す。

正六面体の体積は$x^3$で与えられるので、$x^3 = 8$とおき、$x$の値を求める。

求めた$x$の値を用いて、$a$の値を求める。

正八面体の一つの面である正三角形に着目する。この正三角形の重心は、各頂点から中線に対して2:1に内分する点である。正八面体の頂点をA,B,Cとし、その重心をそれぞれG1,G2,G3とする。G1G2は正六面体の一辺であり、長さを$x$とする。三角形ABCにおけるG1G2の長さは、ABの長さの1/3となる。したがって、$x = \frac{1}{3}a$である。

正六面体の体積は$x^3$であり、これが8に等しいので、

$x^3 = 8$

$x = \sqrt[3]{8} = 2$

$x = \frac{1}{3}a$なので、$2 = \frac{1}{3}a$

$a = 2 \times 3 = 6$

3. 最終的な答え

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