## 問題の概要

## 問題の概要

複素数 $z = \cos\frac{2\pi}{n} + i\sin\frac{2\pi}{n}$ に対し、$z^k$ ($0 \le k \le n-1$) が表す点を $P_k$ とする。

(i) $n$ 個の点 $P_0, P_1, P_2, ..., P_{n-1}$ を頂点とする正 $n$ 角形の面積 $S_n$ を $n$ の式で表し、$\lim_{n \to \infty} S_n$ を求める。

(ii) $\sum_{k=1}^{n-1} z^k$ を求める。

(iii) $n=7$ とする。三角形 $P_1 P_2 P_4$ の重心を $A(\alpha)$、三角形 $P_3 P_5 P_6$ の重心を $B(\beta)$ とおく。複素数 $\alpha, \beta$ を求める。

## 解き方の手順

**(i) 正 $n$ 角形の面積 $S_n$ と $\lim_{n \to \infty} S_n$ を求める**

$P_k$ は単位円上の点である。正 $n$ 角形は、原点を中心とする $n$ 個の合同な二等辺三角形に分割できる。各二等辺三角形の頂角は $\frac{2\pi}{n}$ であり、等しい辺の長さは1である。したがって、一つの二等辺三角形の面積は $\frac{1}{2} \sin\frac{2\pi}{n}$ である。したがって、$S_n$ は

$$S_n = \frac{n}{2} \sin\frac{2\pi}{n}$$

と表せる。

次に、$\lim_{n \to \infty} S_n$ を求める。$\theta = \frac{1}{n}$ とおくと、$n \to \infty$ のとき $\theta \to 0$ なので

$$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{2} \sin\frac{2\pi}{n} = \lim_{\theta \to 0} \frac{1}{2\theta} \sin(2\pi\theta) = \pi \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin(2\pi\theta)}{2\pi\theta}$$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ なので

$$\lim_{n \to \infty} S_n = \pi$$

**(ii) $\sum_{k=1}^{n-1} z^k$ を求める**

等比数列の和の公式を利用する。$\sum_{k=0}^{n-1} z^k = \frac{1-z^n}{1-z}$ である。ここで、$z = \cos\frac{2\pi}{n} + i\sin\frac{2\pi}{n}$ なので、$z^n = \cos 2\pi + i\sin 2\pi = 1$ となる。したがって

$$\sum_{k=0}^{n-1} z^k = \frac{1-1}{1-z} = 0$$

よって、

$$\sum_{k=1}^{n-1} z^k = \sum_{k=0}^{n-1} z^k - z^0 = 0 - 1 = -1$$

**(iii) $\alpha, \beta$ を求める**

$n=7$ のとき、$z = \cos\frac{2\pi}{7} + i\sin\frac{2\pi}{7}$ である。

$\alpha$ は $P_1, P_2, P_4$ の重心なので、

$$\alpha = \frac{z^1 + z^2 + z^4}{3} = \frac{z + z^2 + z^4}{3}$$

$\beta$ は $P_3, P_5, P_6$ の重心なので、

$$\beta = \frac{z^3 + z^5 + z^6}{3}$$

$z^7 = 1$ を利用すると、$z^6 = \overline{z}$, $z^5 = \overline{z^2}$, $z^3 = \overline{z^4}$ であるから、

$$\beta = \frac{z^3 + z^5 + z^6}{3} = \frac{\overline{z^4} + \overline{z^2} + \overline{z}}{3} = \frac{\overline{z + z^2 + z^4}}{3} = \overline{\alpha}$$

したがって、$\beta$ は $\alpha$ の共役複素数である。

## 最終的な答え

(i) $S_n = \frac{n}{2} \sin\frac{2\pi}{n}$ 、$\lim_{n \to \infty} S_n = \pi$

(ii) $\sum_{k=1}^{n-1} z^k = -1$

(iii) $\alpha = \frac{z + z^2 + z^4}{3}$ 、$\beta = \frac{\overline{z} + \overline{z^2} + \overline{z^4}}{3}$